Uli Brauner

Kryptoanalyse

© Friedrich Verlag

Uli Brauner

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Ein sinnstiftender und motivierender Einstieg in den statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff bietet das Entschlüsseln verschlüsselter Texte mittels Häufigkeitsanalysen. Dabei können Kernthemen des Stochastikunterrichts vollkommen genetisch erschlossen werden: das Gesetz der großen Zahlen, die stochastische Wahrscheinlichkeit und ihre Bedeutung.
Der hier beschriebene Unterricht stellt eine inhaltlich relevante Alternative zum überwiegend auf (Würfel-)Spielen basierenden Ansatz dar.
Außerdem bietet sich die Möglichkeit, den Digitalisierungsanforderungen entgegenzukommen: Standardsoftware wie Textverarbeitung und Tabellenkalkulation kommen beim Knacken eines verschlüsselten Texts zum Einsatz.
Ein verschlüsselter Text was nun?
Ausgangspunkt ist ein erstes Erkunden eines mit der Caesar-Verschlüsselung codierten Textes wie dem aus der Artikelüberschrift. Caesar-Codierungen finden sich häufig schon in Kinder- oder Grundschulbüchern. Bei dieser Verschlüsselungsart werden die Buchstaben des Alphabets um einen gewissen, festen Wert verschoben (Tab. 1 ). In der Tabelle erkennt man, dass das „L im Geheimtext, dem „g im Klartext zugeordnet ist. Ebenso wird aus „J ein „e, aus „M das „h und es entsteht so aus „LJMJNR das Wort „geheim. Üblicherweise schreibt man Klartext in Klein-, Geheimtext in Großbuchstaben unbedingt auch bei digitaler Bearbeitung.
Idee der Häufigkeitsanalyse
Wenn die Zuordnungstabelle nicht bekannt ist, kann man grundsätzlich alle 25 möglichen Zuordnungen ausprobieren, um die richtige Entschlüsselungstabelle zu finden. Bei „längeren Geheimtexten bietet sich eine andere Möglichkeit an: die Häufigkeitsanalyse. Da im normalen, deutschen Text der Buchstabe „e besonders oft vorkommt (ca. 17% eines Textes besteht aus diesem Buchstaben), ist es sinnvoll, das häufigste Zeichen des verschlüsselten Textes zu ermitteln und diesem Zeichen das „e zuzuordnen.
Im Text LJMJNRYJCYJ JSYXHMQZJXXJQS RFHMY KWJZIJ ist das häufigste Zeichen das „J, das insgesamt neunmal vorkommt. Es liegt also nahe, es mit der Übersetzungstabelle zu versuchen, bei der das „e dem „J zugeordnet wird. Geht man von dieser Zuordnung aus, kann die gesamte Tabelle leicht erstellt werden.
Komplexer wird die Sache, wenn die Verschlüsselungstabelle durch eine willkürliche Zuordnung von Klartext- und Geheimzeichen entstanden ist (Tab. 2 ). Hierbei können die Geheimtextzeichen auch vollkommen beliebige Zeichen sein, z.B. #, ?, €, ¥, ∑, ω
Jetzt reicht es nicht mehr aus, eine einzige Zuordnung zu identifizieren. Vielmehr muss jede einzelne Tabellenspalte herausgefunden werden.
Hierzu untersuchen wir bei beliebigen Texten die Häufigkeiten verschiedener Zeichen: Jeder Schüler, jede Schülerin zählt z.B., wie oft der Buchstabe „n in einem 100 Zeichen langen Text enthalten ist. Wird der Anteil der „n bezogen auf die Textlänge über die ganze Lerngruppe kumuliert, kann man sehr schön ein Stabilisieren der relativen Häufigkeit des Buchstabens bei zunehmender Textgröße erkennen.
Das Ergebnis: Bei „kleinen Textlängen schwankt die relative Häufigkeit noch recht stark (z.B. beträgt sie bei 100 Zeichen 6% bei 300 Zeichen aber 8%). Bei „großen Textlängen bleibt die relative Häufigkeit für ein „n annähernd gleich: bei ca. 8,8%.
Wann haben wir genug gezählt?
Ab welcher Zeichenzahl kann man von einer „großen Textlänge sprechen? Werden für weitere Buchstaben in entsprechender Weise Diagramme erstellt, erkennen die Lernenden, dass ab ca. 1000 Zeichen ein stabiler Anteil des jeweiligen Zeichens vorhanden ist (Abb. 1 ).
Gilt das für alle Buchstaben? Schülergruppen, die Buchstaben untersucht haben, die in der deutschen Sprache eher selten vorkommen etwa das „q oder das „y , erfahren, dass die Stabilisierung der relativen Häufigkeit erst bei deutlich größeren Textlängen beobachtet werden kann (Abb. 2 ). Die Schwankungsbreite der relativen...

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aus: Mathematik lehren Nr. 219 / 2020

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Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-9