JONAS LOTZ

Karl Weierstraß und sein unendlich struppiges Monster

Funktionen, Zugmodus, Graph, GeoGebra
Weierstraß und die Monsterfunktionen, Grafik: Friedrich Verlag, screenshot: geogebra.org

JONAS LOTZ

Darstellen, was man sich kaum vorstellen kann

Die Goldene Zeit der Mathematik in Berlin verdankt ihren Glanz im Wesentlichen drei Mathematikern: Ernst Eduard Kummer, Leopold Kronecker und Karl Weierstraß. „Selbst im Kreise der [] drei hervorragenden Mathematiker war die Ausstrahlung von Weierstraß einzigartig: Seine mit sprichwörtlicher ‚Weierstraß'scher Strenge entwickelten Vorlesungen über Analysis zogen nach damaligen Maßstäben riesige Auditorien von Studenten, Graduierten und selbst Professoren nach Berlin (Elstrodt 2016, S. 12).
Dies war auch in Weierstraß' pädagogischer Haltung begründet: Akademischer Unterricht soll „den Lernenden fortwährend zu eigener Forschung anleiten, „die zur Zeit nicht überschrittenen Grenzen samt vielversprechender Ansatzpunkte andeuten und „[a]uch einen tiefern Einblick in den Gang seiner eigenen Forschungen sowie in „begangene Irrthümer und getäuschte Erwartungen zulassen (Weierstraß 1903, S. 335 f.). Gut möglich, dass in dieser Überzeugung eine Ursache für das bemerkenswerte Lehrtalent lag, das Weierstraß in seiner vorherigen Tätigkeit als Gymnasiallehrer attestiert wurde (Elstrodt 2016). Wissenschaftliche Veröffentlichungen während dieser Zeit ebneten ihm schließlich nach einigen Strapazen den Weg nach Berlin (Arbeitsblatt 1 ).
Im Laufe der Jahre prägte Weierstraß (auch indirekt durch Vorlesungen) die Weltmathematik, er „zwang die mathematische Gemeinschaft zu einer neuen Qualität der Behandlung grundlegender Eigenschaften (König/Sprekels 2016, S. vi). Seinen Erfolg diesbezüglich reflektierte er im Alter von 70 Jahren jedoch ernüchtert: „Leider finde ich für meine Bemühungen, die Analysis auf fester Basis aufzubauen, bei meinen nächsten Freunden und Collegen kein Verständniß, geschweige denn Unterstützung (Weierstraß 1885, o. S.).
Stetig und nirgends differenzierbar
Mit strengerem Blick als seine Zeitgenossen erkannte Weierstraß „mit den gewöhnlichen Ansichten nicht übereinstimmende Wahrheiten wie etwa jene, „dass man bei einer Function eines reellen Arguments aus der Stetigkeit derselben nicht folgern könne, dass sie auch nur an einer einzigen Stelle einen bestimmten Differentialquotienten [] besitze (Weierstraß 1895, S. 221). Er gab dazu eine Funktionsgleichung einer stetigen Funktion an, die an keiner einzigen Stelle differenzierbar ist.
Den Nachweis der Eigenschaften führte er „mit den einfachsten Mitteln (Weierstraß 1895, S. 72). Heute ist dieser zwar Teil von Analysisvorlesungen des Grundstudiums, zur damaligen Zeit jedoch hegten die meisten derart heftige Zweifel an der Existenz einer solchen Funktion, dass ihr der Name Monsterfunktion verliehen wurde (König/Sprekels 2016). Hoffentlich können Sie, liebe Leserin, lieber Leser, dies nachempfinden je lebhafter, desto besser: Wie kann es denn möglich sein, dass der Graph einer stetigen Funktion an jeder Stelle einen Zacken hat?
Wir gehen hier den Ursachen dieses Zweifels nach und beleuchten sein Zustandekommen näher. Darin liegt die Chance, zentrale Schwierigkeiten des Grenzwertbegriffs herauszuschälen und sich bewusst zu machen, dass das Ringen um Feinheiten dieses Begriffs ein langwieriger Prozess war und ist. Wer dank des weierstraßschen Monsters sensibilisiert ist für die argen Tücken des Grenzwertbegriffs, wird den jüngeren Recken im Mathematikunterricht ein noch wertvollerer Gehilfe sein, wenn sie gegen ähnliche Ungeheuer zu Felde ziehen. Zu einigen solcher Wald-und-Wiesenmonster kommen wir zum Schluss.
Die Monsterfunktion
Treten wir dem Monster von Weierstraß tapfer entgegen, von Angesicht zu Angesicht (vgl. Arbeitsblatt 2 ):
f: ℝ → ℝ
x k=0bk· ...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 222 / 2020

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