Darstellungsebenen bewusst wechseln

Enaktiv – ikonisch – symbolisch konkret

Das bekannte EIS-Prinzip steht für „enaktiv – ikonisch – symbolisch“ und besagt: Es ist lernförderlich, Inhalte für den Mathematikunterricht in diesen drei Darstellungsebenen aufzubereiten. Dahinter steckt viel mehr als schlichtes „Hantieren – Malen – Rechnen“. Was ist wichtig, um das EIS-Prinzip richtig umzusetzen?

Geometrische Körper
Welches Material und welche Handlung unterstützt das Lernen? Foto: rawpixel / Pixabay CC0 creative commons (bearbeitet)

Worum geht es bei EIS?

Der Psychologe Jérôme Bruner stellte die These auf, dass für jedes Lernen mathematischer Sachverhalte die drei Darstellungsebenen „enaktiv-ikonisch-symbolisch“ von entscheidender Bedeutung sind. Diese Ebenen ergänzen sich gegenseitig. Insbesondere seien es gerade die gelingenden, stimmigen Übergänge zwischen diesen Ebenen, die Lernen überhaupt ermöglichen und Verständnis fördern. Mitnichten sollte der enaktive Zugang nur für junge Schülerinnen und Schüler eingefordert werden. Vielmehr bleibt die stete Nutzung aller drei Repräsentationsebenen über alle Klassenstufen (und darüber hinaus im Erwachsenenalter) hinweg wichtig für das Erlernen. Gezielte und bewusste Wechsel zwischen den Ebenen ermöglichen ein verstehendes Lernen und verstandenes Können, das auf unterschiedliche Situationen angewandt werden kann.

Enaktiv: Handeln am konkreten Objekt

Wichtig ist es, sich vorab mit Blick auf die mathematischen Lernziele konkret die möglichen (Material-)Handlungen der Schülerinnen und Schüler zu überlegen. Welche Erfahrungen werden – mit Blick auf den stimmigen Übergang zu anderen Darstellungsebenen – gemacht? Solche sogenannten Aneignungshandlungen (vgl. Prediger 2013) kann man für Begriffe, für inhaltliche Vorstellungen, für mathematische Zusammenhänge (Sätze) und für Verfahren (Algorithmen) formulieren.

Nehmen wir als Beispiel einen Kreis: Es macht einen Unterschied, ob ich einen Kreis erzeuge, indem ich den Umriss eines (runden) Tellers umfahre, einen Zirkel benutze oder Faden und Stift. Im ersten Fall spüre ich die Form, ich kann die Linie "ohne Knicke" erzeugen. Die mathematische Eigenschaft eines Kreises (als die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt den gleichen Abstand haben) wird hier nicht direkt erfahrbar. Das gelingt mit der „Seil-Methode“ besser. Behandle ich später z.B. die symbolische Darstellung des Einheitskreises x2 + y2 = 1, kann ich diese Punkte im Koordinatensystem zeichnen lassen (ikonische Darstellung) und auf die zeichnerische Erfahrung zurückgreifen.

Hier wird schon deutlich: Das enaktive Handeln steht nicht nur am Anfang des Lernprozesses. Vielmehr sollte diese Darstellungsebene immer zugänglich bleiben. 

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Ikonisch: Sachverhalte im Bild darstellen

Das Bild einer Pfeife ist keine Pfeife. Mit dieser simplen Feststellung hat René Magritte die Betrachter seines berühmten Werkes verblüfft (Der Verrat der Bilder). So ist auch das Schrägbild eines Würfels kein Würfel, ebenso wenig wie ein Foto eines Würfels oder das Würfel-Netz. Hier wird deutlich, wie konkret oder prototypisch die ikonische Darstellung aufgefasst werden kann. (Übrigens: In der Linguistik wird zum Beispiel das Wort "Kuckuck" als ikonisch bezeichnet, weil es den gemeinten Vogel durch seine Laute nachahmt.)

Skizzen oder genaue Zeichnungen helfen, Situationen zu erkunden. Ein Beispiel: In ein Quadrat wird ein Dreieck eingezeichnet, dessen Eckpunkte auf den Seiten des Quadrats liegen und diese im Verhältnis eins zu zwei teilen. Welchen Anteil hat das eingezeichnete Dreieck am ganzen Quadrat? Falls Sie Kopfgeometrie betreiben, um die Aufgabe ohne Stift und Papier zu lösen, nutzen Sie beim gedanklich visualisierten Quadrat bereits eine ikonische Darstellung. Ein Tipp: Die Lösung ist alles andere als eindeutig. Und nebenbei: Es ist auch erlaubt, ein quadratisches Papier entsprechend zu falten ...

Symbolisch: Arbeiten auf abstrakter Ebene 

Symbolisch wird fälschlich oft mit „formal-algebraisch“ gleichgesetzt oder darauf reduziert. Ein Zeichen erhält die Eigenschaft symbolisch, wenn es dazu anwendbare Regeln für den Umgang mit diesem Zeichen gibt bzw. der Betrachter mögliche, mit dem Zeichen verbundene Regeln erkennt. Kann er sie anwenden, so hat er den Symbolgehalt erfasst. Ein nicht-numerisches Beispiel ist das Symbol für den rechten Winkel. Oder vielleicht auch ein Baumdiagramm (vgl. Lambert, 2015). 

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Zur Diskussion

Wie ist es mit den bekannten figurierten Zahlen, z.B. den Dreieckszahlen, deren Punkte-/Kreise-Darstellungen üblicherweise der ikonischen Ebene zugeordnet werden: Macht es für die Darstellungsebene einen Unterschied, ob ich Punkte zeichne oder ob ich Plättchen als Muster lege?
Mit den zunehmenden digitalen Möglichkeiten wird auch ein Handeln am Rechner oder noch unmittelbarer mit dem Finger am Tablet oder am interaktiven Whiteboard möglich. Ist das Verschieben eines Funktionsgraphen mithilfe eines Schiebereglers oder mit dem Finger auch eine enaktive Handlung? Ist das Zerlegen und Zusammensetzen von Flächen am Rechner (mit Programmen wie z.B. sketchometry, Cinderella, oder GeoGebra) auch enaktiv? Oder erst dann, wenn ich es z.B. mit Papier mache?

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Mathe real – mit Material


Literatur

Andreas Büchter, Reinhold Haug (2013): Lernen mit Material - Anker setzen beim Aufbau mathematischer Grundvorstellungen. - In: mathematik lehren, Heft 176, S. 2-7.

Anselm Lambert (2015): Algorithmen enaktiv - ikonisch - symbolisch. - In: mathematik lehren, Heft 188, S. 16-19.

Anselm Lambert (2011): Was soll das bedeuten?: Enaktiv – ikonisch – symbolisch. Aneignungsformen beim Geometrielernen - In: Vernetzungen und Anwendungen im Geometrieunterricht Ziele und Visionen 2020. AK Geometrie 2011, S. 5-32. Online-Version: hier

Susanne Prediger  (2014): Kognitiv aktivierender Umgang mit Merkkästen. - In: Fördermagazin 10 (2), 15-17.

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