Alexander Best

Schulhof-Mathematik 3D: CamCarpets

Nach einer Vorlage von D. Sommerhoff.
Nach einer Vorlage von D. Sommerhoff., © Friedrich Verlag

Alexander Best

Wer Fußballspiele im Fernsehen anschaut, kann in Tornähe häufig Werbeflächen mit aufrecht stehenden Schriftzügen sehen (Abb. 1 ). Hierbei handelt es sich um eine optische Täuschung: Diese Werbeflächen bestehen aus bedruckten Werbeteppichen, sogenannten 3D-CamCarpets, die in der Spiel-feldebene liegen und nur beim Betrachten aus der Kameraperspektive einen räumlichen Eindruck vermitteln. Der Zuschauer im Stadion dagegen sieht aus seinem anderen Blickwinkel ebene, verzerrt dargestellte Buchstaben. Dieses optische Phänomen machte ich mit meinem Grundkurs zum Gegenstand eines Modellierungsprojekts.1
Nachdem Geradengleichungen im Raum sowie Lagebeziehungen und Schnittpunktberechnungen thematisiert sind, erhalten die Lernenden die Aufgabe, einen 3D-CamCarpet mit einem Schriftzug für die Abi-Zeitung zu entwickeln. Um die Wirkung des 3D-CamCarpets zu prüfen, soll dieser auf dem Schulhof mit Kreide gezeichnet und mit einem Foto aus der geeigneten Perspektive aufgenommen werden.
Ein mathematisches Modell für 3D-CamCarpets entwickeln
In Kleingruppen diskutieren die Jugendlichen zunächst über notwendige Annahmen: Welcher Schriftzug ist geeignet? Wo wird die Kamera posi-tioniert? Wie sind die Lage der Koordinatenachsen und die Position des 3D-CamCarpets auf dem Schulhof?
Nun werden die Koordinaten der Eckpunkte aller Buchstaben des Schriftzuges bestimmt. Hierbei müssen die Lernenden erkennen, dass jeder Buchstabe des Schriftzuges „zweimal existiert (Abb. 2 ): Die virtuellen Buchstaben sind „aufrecht stehende Buchstaben, die nur vom Punkt P aus (Kameraperspektive) als dreidimensionale Objekte wahrgenommen werden. Die realen Buchstaben dagegen sind verzerrt auf dem ebenen Schulhof gezeichnet.
Es sind also die Koordinaten der virtuellen Buchstaben festzulegen, um mit ihnen die Koordinaten der realen Buchstaben des 3D-CamCarpets auf dem Schulhof berechnen zu können. Dazu werden die Koordinaten der Spurpunkte ermittelt, die jeweils von den Geraden durch den Punkt P (Position der Kamera) und jeden Eckpunkt des virtuellen Buchstabens erzeugt werden. Um den Rechenaufwand zu reduzieren, wird die Berechnung exemplarisch nur für einen Eckpunkt händisch durchgeführt (Kasten 1 ). Alle anderen Koordinaten ermitteln die Jugendlichen mit GeoGebra, Archimedes Geo3D oder einer Tabellenkalkulation. Alternativ können die Spurpunkte auch durch die Anwendung einer Zentralprojektion mit dem Projektionszentrum P und einer entsprechenden Projektionsmatrix berechnet werden.
3D-CamCarpets realisieren
Nach der Ermittlung der Koordinaten der realen Buchstaben kann der 3D-CamCarpet mit Kreide auf den Schulhof gezeichnet werden. Die Qualität des Modells und der Berechnung wird dann durch ein Foto aus der vorab festgelegten Kameraperspektive überprüft (Abb. 3 ). Die Einbeziehung von Personen als reale 3D-Objekte, die auf den Buchstaben sitzen oder sich anlehnen, verstärkt die Illusion.
Darüber hinaus entwickelte eine leistungsstarke Gruppe in GeoGebra ein eindrucksvolles dynamisches Arbeitsblatt (Abb. 4 ), mit dem der 3D-CamCarpet in Abhängigkeit von der Kameraposition dargestellt werden kann. Zur Validierung des Modells wird der Schriftzug auf einem Tablet aus der am Schieberegler eingestellten Position fotografiert. Im Kasten 2 wird die Implementierung in GeoGebra zum leichteren Nachvollziehen erläutert.
Kasten 2: Implementierung des 3D-CamCarpets in GeoGebra
Kasten 2: Implementierung des 3D-CamCarpets in GeoGebra
Einen deutlicheren Effekt erhält man, wenn die virtuellen Buchstaben dreidimensional dargestellt werden. Die im Beispiel verwendeten Bezeichnungen der Koordinatenachsen sowie der vorderen (A, B, C, ) und die dazu korrespondierenden hinteren Eckpunkte (AH, BH, CH, ) sind rechts dargestellt. Die Nummern der einzelnen Implementierungsschritte finden Sie als Verweise in der unten stehenden Abbildung.
Eingabe der Raumkoordinaten der Kameraposition und der Eckpunkte
1. Im...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 219 / 2020

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