Andreas Filler

Was ist neu in der Sek. II?

Andreas Filler

Wie sich das Lösen geometrischer Probleme ändert

Geometrie wird in der Sekundarstufe II hauptsächlich vektoriell betrieben. Damit ergeben sich wesentliche Unterschiede beim Lösen geometrischer Probleme gegenüber der Mittelstufe:
1. Die für die Sek. I substanziellen inhaltsspezifischen heuristischen Strategien geometrischen Problemlösens (z.B. Suche nach geeigneten Teildreiecken) verlieren an Bedeutung, es treten andere heuristische Strategien in den Mittelpunkt (Koordinatisieren, Ausdrücken von Punkten und Strecken durch Vektoren, Darstellen von Vektoren durch andere Vektoren, Nutzen das Skalarprodukts ).
2. Viele geometrische Probleme sind mit vektoriellen Hilfsmitteln leichter insbesondere „geradliniger lösbar. Während es bei elementargeometrischen Lösungswegen oft entscheidender „Einfälle bedarf, die in der Ausgangs- und Zielkonfiguration nicht unmittelbar erkennbar sind, lassen sich viele Aufgaben mit vektoriellen Mitteln „direkter angehen, wofür aber die gekonnte Beherrschung des „Werkzeugs Vektorrechnung erforderlich ist.
3. In der Sek. II werden geometrische Probleme größtenteils auf rechnerisch-algebraischem Wege gelöst.
4. Lösungen ebener Probleme mit vektoriellen Mitteln sind oftmals recht leicht auf analoge räumliche Probleme übertragbar.
Dabei sind die für die Sek. I spezifischen (elementargeometrischen) Strategien keinesfalls ab der Abiturstufe als „überholt anzusehen im Gegenteil; es ist sogar wünschenswert, diese zu „pflegen. Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es ihnen ermöglichen, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen. Zwei derartige Beispiele werden in diesem Beitrag beschrieben.
Das Schatzinselproblem
Ein besonderer Reiz des Schatzinselproblems (Arbeitsblatt 1 ) besteht in der scheinbaren Unlösbarkeit: Wo soll man mit der Suche beginnen, wenn man nicht weiß, wo der Galgen stand? Schülerinnen und Schüler sowohl der achten als auch der zwölften Jahrgangsstufe (die jeweils zuvor in Dynamischer Geometriesoftware mit Ortslinien experimentiert hatten) kamen auf die Idee, die Situation mit einem willkürlich angeordneten Galgen in GeoGebra nachzukonstruieren (Abb. 1 ) und dann die Position des Schatzes bei Änderung der Position des Galgens zu verfolgen, um daraus eventuelle „Regelmäßigkeiten abzuleiten. Sie waren hochgradig erstaunt, dass der Schatz sich überhaupt nicht bewegte egal, wohin sie den Galgen zogen.
Nachdem die Experimente mit der Software zu der starken Vermutung führen (man kann fast von Evidenz sprechen), dass die Position des Schatzes von der des Galgens unabhängig ist, also nur von den Positionen der beiden Bäume abhängt, stellt sich die Frage, wie sich die Lage des Schatzes beschreiben lässt.
Lösung des Schatzinselproblems mit Mitteln der Sekundarstufe I
Um die Position des Schatzes zu ermitteln, führen zunächst zwei Strategien weiter.
„Naive Symmetrieüberlegungen: In der Wegbeschreibung sind beide Bäume „gleichberechtigt. Wenn die Position des Schatzes also wirklich nur von den Bäumen (und nicht vom Galgen) abhängt, denn müsste der Schatz von beiden Bäumen gleich weit entfernt sein, also auf der Mittelsenkrechten der Strecke  $$\overset{‾}{CB}$$ (Coconut Banana) liegen.
Betrachten von Spezialfällen: Könnte der Galgen auch direkt an einem der beiden Bäume gestanden haben? Dann lässt sich die Position des Schatzes leicht ermitteln, und man erhält für beide Bäume dasselbe Ergebnis: Der Schatz liegt im Diagonalenschnittpunkt eines über der Strecke errichteten Quadrats (Abb. 2. ).
Die so gewonnenen Vermutungen lassen sich wiederum mithilfe von Geometrie-Software bestätigen. Erfahrungsgemäß betrachten viele Schülerinnen und Schüler das Problem damit als gelöst, wenngleich die Unabhängigkeit der Schatz- von der Galgenposition „nur experimentell ermittelt wurde.
Mathematisch interessierte...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 196 / 2016

Problemlösen lernen in der Geometrie

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 8-13