Stefan Halverscheid

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Räumliche Koordinatengeometrie für STL-Codes

Für den 3D-Druck gibt es viele Programme, meist CAD-Programme, von denen auch viele leistungsfähige für Schulen frei erhältlich sind (wie TinkercadTM, SketchUp, Onshape oder Fusion360). Diese bieten wie auch geogebra3D viele Möglichkeiten (Bausteine und Konstruktionselemente) für geometrische Konstruktionen.
Um die geometrischen Informationen der jeweiligen Programme so zu codieren, dass die Treiber für die unterschiedlichen 3D-Drucker sie zu deren Steuerung einsetzen können, benötigt man eine Standardschnittstelle (STL-Schnittstelle). Mit dieser lassen sich auch Files abspeichern, um die Figuren zwischen unterschiedlichen CAD- oder anderen Graphik-Systemen auszutauschen oder zu überarbeiten. Dabei steht STL für stereolitography oder auch für standard triangulation language bzw. standard tesselation language.
Hier wird solch ein STL-Format genutzt, um direkt (d.h. als Koordinatenangaben) die Körper für die 3D-Drucker zu beschreiben.
Von der Codierung zur Druckersteuerung
Stereolitographie (stereos „fest, „körperlich; lithos „Stein und graphein „schreiben) war das erste, Mitte der 1980ger-Jahre patentierte Verfahren, um automatisiert Körperformen schichtweise per Laser in einem Flüssigbad aus Photopolymer zu gewinnen. Unter Triangulation (englisch „tesselation) versteht man die Zerlegung einer Oberfläche (im Raum) in überlappungsfreie Dreiecke. Triangulierungen werden zum Beispiel bei aerodynamischen Berechnungen eingesetzt, um kontinuierliche Probleme für Computerberechnungen zu diskretisieren.
Eine räumliche Figur wird hier mit Hilfe von Koordinaten der Eckpunkte der Dreiecke dieser Triangulierung beschrieben, um auf den einzelnen Dreiecken mathematische Objekte wie Funktionen zu berechnen, die sich dann zu einem Ganzen zusammenfügen. Dies führt zur „umgekehrten Fra-ge, die auf die Rekonstruktion des üblichen Entwicklungsprozesses (Planen des Objekts, Erstellen eines 3D-Modells mit CAD, Vorbereiten für den Druck, Drucken usw.) zielt: Welche Figur steckt hinter den Koordinatenangaben?
Daten einer Triangulierung im STL-Format codieren
Als erste Aufgabe wollen wir eine Figur im STL-Format darstellen. Betrachten wir dafür den Tetraeder mit den vier Eckpunkten A = (0,0,0), B = (1,1,0), C = (1,0,1) und D = (0,1,1). Die sehr bekannte Frage, warum es sich bei diesem Beispiel um einen regelmäßigen Tetraeder handelt und wie dieser im Raum liegt (Abb. 1 ), erfährt hier eine Variante.
Die Oberfläche lässt sich in vier Dreiecke zerlegen: ∆(A,B,C), ∆(A,B,D), ∆(A,C,D) und ∆(B,C,D). Diese vier Dreiecke werden in dem STL-Code aufgelistet.
Neben den Daten über die Eckpunkte in Koordinaten benötigt das Programm eine Information, welcher der beiden Halbräume, die das Dreieck erzeugt, die Außenseite ist. Das wird doppelt festgehalten: Zum einen wird die Richtung der Normalen nach außen angenommen. Zum anderen werden die Scheitelpunkte „orientiert, gegen den Uhrzeigersinn aufgelistet, wenn das Objekt von außen betrachtet wird. Das kann auch mit der „Rechte-Hand-Regel formuliert werden. Für einfache, konvexe Polytope kommen die 3D-Drucker auch gut mit dem Nullvektor statt eines Normalenvektors klar, so lange die orientierte Anordnung der Punkte eingehalten wird. Es ist nicht erforderlich, den Normalenvektor zu normieren.
Schauen wir uns zunächst eine Version mit regulärem Normalenvektor an. In dem STL-Code für eine Dreiecksseite in einer (mit „outer loop begonnenen und „end loop beendeten) Liste mit den Eckpunkten A=(0,0,0), B=(1,1,0), C=(1,0,1) durch Angabe jeder Ecke (vertex) sowie durch Angabe des Normalenvektors der Seitenfläche (facet normal) festgelegt (Abb. 2 ).
Die erste Zeile lässt sich auch durch „facet normal 0 0 0 ersetzen. Schwierig würde dies bei nicht konvexen Objekten oder vielen Ecken. Mit 12 Dreiecksseiten führt die Vereinfachung aber noch auf gar keine Schwierigkeiten. Mit vielen...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 217 / 2019

3D-Druck

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-10