Stütz-Stümpfe, Snacks – und Geometrie klappt

Foto: A. Lambert

Vor einem guten Jahrhundert hat der Mathematikunterricht an Gymnasien von dem an Volksschulen gelernt: einem Geometrieunterricht über Figuren in der Ebene einen Unterricht über Körper im Raum die Raumlehre vorangehen zu lassen. Wir leben im Raum, sind von räumlichen Objekten umgeben hier und heute von vielen Quadern. Von den räumlichen Objekten lösen wir die ebenen Figuren: Rechtecke sind die Seitenflächen am Schuhkarton. Der Boden und der Deckel einer Dose sind Kreise, und ihre Mantelfläche ist ein Rechteck. Letzteres aber sehen wir nicht direkt: Das müssen wir erst sehen lernen, dafür biegen wir sie auf zuerst an einem Modell und schließlich im Kopf.Das Raumvorstellungsvermögen erlebt seinen größten Zuwachs im 7. bis 13. Lebensjahr. Bewegliche Raumgeometrie sollte man also rechtzeitig machen, in den Klassenstufen 9/10 kann es schon zu spät sein. Die deutschen Bildungsstandards räumen der Raumgeometrie leider nicht den gebührenden Platz ein, auch wenn eine der Leitideen mit „Raum ... beginnt. Wie ist es in Ihrem Unterricht?

Pyramidenvolumen
Schon 1916 hat Walther Lietzmann in seiner Methodik des mathematischen Unterrichts beschrieben, dass man geometrische Begriffe, insbesondere auch die räumlichen, durch Anschauung, Beschreibung, Darstellung, Messen geometrischer Formen kennenlernen sollte. Dazu bedarf es greifbarer Modelle nach Lietzmann am besten von den Lernenden möglichst selbstständig entworfene, wenigstens aber vorgegebene.
Bei der Herleitung der Volumenformel für die Pyramide und insbesondere des Proportionalitätsfaktors 13geht Karl Charon aus Saarbrücken einen fruchtbaren Mittelweg. Er lässt das Modell der Zerlegung eines Würfels in drei kongruente schiefe Pyramiden aus „Klickies und Pappe nachbauen. Damit klappt die Zerlegung.
Für die gerade Pyramide ergibt sich mit dem cavalierischen Prinzip das gleiche Volumen wie für die schiefe und damit auch der gleiche Proportionalitätsfaktor. Und was ist, wenn die Höhe der Pyramide nicht der Grundkantenlänge entspricht?
Windschief aber wo?
Zwei Striche auf der Tafel stellen zwei windschiefe Geraden dar.
Aber welche liegt nun im Raum oberhalb der anderen? Augenscheinlich zunächst die auf der Tafel obere.
Die wahre Antwort aber ist: Ohne weitere Informationen lässt sich dies nicht sagen! Denn wir können uns die Geraden auch wie folgt in den Raum eingebettet vorstellen gestützt durch einen anderen Quader: Dann sehen wir den auf der Tafel oberen Strich plötzlich hinten unten.
Stumpf oder Nicht-Stumpf
Ein Pyramidenstumpf ist ein wertvoller Träger der Vorstellung, dass im Raum zwei Geraden sich entweder schneiden oder parallel oder windschief sein können denn wir finden zu jeder der Relationen passende Kantenpaare. Sehen Sie ’s?
Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler Pyramidenstümpfe basteln und die Lagebeziehungen mit Schaschlikspießen veranschaulichen, damit auch sie es sehen lernen.
Die folgende Aufgabenidee verdanken wir Lutz Führer, der einen „falschen Stumpf in Frankfurt auf seinem Büroschreibtisch stehen hatte.
Ist der Körper ein Stumpf einer Dreieckpyramide?
Siehe da: Es treffen sich zwei, die dritte aber zieht vorbei.
Wenn wir die Kanten verlängern (am Modell oder auf der Abbildung), dann sehen wir, dass diese eben nicht in der notwendigen einen gemeinsamen Spitze zusammenlaufen.
Zwei Würfelgebäude
Auf dem Foto sind zwei Würfelgebäude zu sehen. Warum haben sie gleiches Volumen?
Die offensichtliche Antwort ist: Sie bestehen beide aus fünf gleichen Würfeln. Dies ist eine naheliegende Zerlegung in paarweise kongruente Teilkörper schlicht die universelle in Messeinheitswürfel. Geht es aber auch mit weniger als fünf Körpern? Tatsächlich: Es genügen locker zwei.
Inhaltsgleichheit lässt sich statt durch Zerlegen in paarweise kongruente Figuren (hier: Körper) auch...

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aus: Mathematik lehren Nr. 219 / 2020

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