Kopfgeometrie

Stelle dir vor ...

Wo entsteht Mathematik? - Im Kopf, denn Mathematik wird aus Ideen gemacht. Papier und Stift (oder den Rechner) braucht man dann nur, um diese Gedanken festzuhalten. Andererseits: Wie entstehen Ideen, Gedanken, mathematische Vorstellungen? Hier bilden unsere (haptischen) Erfahrungen eine wichtige Grundlage. Dies gilt insbesondere für das räumliche Vorstellungsvermögen.

Kopfgeometrie
Grafiken: Klaus-Peter Eichler / Mathematik 5-10 |39|

So bunt wie die Mathematik können auch mathematische Gedankenexperimente sein. Wie dieses: 

Stelle dir vor, eine Streichholzschachtel steht mit dem Schriftbild vorn auf einem Tisch. Man kann sie in vier Richtungen kippen: nach vorn, hinten, links und rechts. Wohin gelangt die Schachtel, wenn folgendermaßen gekippt wird: hinten - rechts - rechts - hinten? Ist nun die Oberseite oder die Unterseite zu sehen? 

Das methodische Vorgehen bei Aufgaben zur Kopfgeometrie umfasst drei Phasen (Senftleben 1996, zitiert nach Roth 2011): 

  1. Die Aufgabe wird gestellt, Vorstellungsbilder entstehen.
  2. Es wird räumlich gedacht, im Kopf operiert und grundsätzlich ohne Hilfsmittel gearbeitet.
  3. Die Ergebnisse aus Phase 2 werden verbalisiert, diskutiert und vielleicht überprüft.

(In der Literatur findet man auch eine kleinschrittigere Unterteilung, bei der in Phase 3 verbalisiert wird und in Phase 4 die Kontrolle der Ergebnisse erfolgt, vgl. Eichler 2017.)  

Kopfgeometrie und das Lernen von Geometrie

Die Schülerinnen und Schüler entwickeln, nutzen und vertiefen Grundvorstellungen zu geometrischen Begriffen und Sachverhalten. Das bewegliche Denken wird gefördert, indem Konfigurationen erfasst und analysiert werden. Diese werden gedanklich verändert, Bewegungen werden  hineingesehen und das Änderungsverhalten wird beschrieben. Folgende Aufgabenbeispiele (aus Eichler 2017) zeigen das reichhaltige Potenzial: 

Sich Figuren und Körper nach Beschreibung vorstellen

Welcher Körper könnte das jeweils sein? 
Er hat genau 4 Ecken.
Er hat keine Ecken und zwei Kanten.
Er hat genau 6 Flächen und 8 Ecken.
Er hat genau 6 Flächen und 6 Ecken.
Er hat genau 6 Flächen und 5 Ecken.
Er hat genau 5 Flächen und 6 Ecken.

Ebene Figuren zerlegen

Ein Quadrat wird mit einem geraden Schnitt in zwei Teile zerlegt: Welche Figuren können entstehen? Können zwei deckungsgleiche Figuren entstehen? Es soll ein Dreieck abgeschnitten werden. Beschreibe, welche Figur übrig bleiben kann. Wie viele Ecken haben beide Figuren mindestens (höchstens) zusammen?

Diese Übung kann verallgemeinert werden - etwa indem ein (regelmäßiges) n-Eck mit einem Schnitt zerlegt wird.

Zum Weiterlesen

Mehr zum Thema lesen Sie in diesen Beiträgen, die über unser Angebot Friedrich+ Mathematik abrufbar sind:

  • Ein Quadrat im Kopf verändern: Bei  kopfgeometrischen Aufgaben werden die Handlungen in der Vorstellung durchgeführt. Das fällt nicht allen Schülerinnen und Schüler gleichermaßen leicht, lässt sich aber üben.
  • Aufgaben formulieren ist nicht einfach. Dieser Beitrag zeigt Ihnen elementare „kunsthandwerkliche Fähigkeiten“ dafür.

Falten und Vorstellen von Faltungen

Handlungserfahrungen zum Falten und Wiederauffalten - mit und ohne Schnitte - haben vermutlich die meisten Schülerinnen und Schüler schon gemacht. Man kann in Gedanken ein Blatt Papier falten - schneiden - auffalten lassen und nach dem Ergebnis fragen. Oder ein Muster/eine Figur zeigen, und mögliche Falt-Schnitt-Wege dorthin beschreiben lassen. 

Von der Ebene in den Raum

Mit einfachen "Holzwürfeln" lassen sich Gedankenexperimente machen, die dann mit realen Würfeln oder Würfeln aus Knetmasse überprüft werden können: 

Ein Würfel wird mit einem Schnitt "zersägt". Welche Teilkörper können dabei entstehen? Wie sehen die Schnittflächen aus? Wie muss man schneiden, damit ein Quadrat als Schnittfläche entsteht? ...

Für ein gedankliches Operieren mit Spielwürfeln ist es sinnvoll, ein Anschauungsobjekt mit der Aufgabenstellung zu zeigen (Bild oder großen Schaumstoffwürfel). Die Augensumme gegenüberliegender Seiten ist stets 7, dies muss eventuell noch einmal explizit gemacht werden. Dann kann man den Würfeln kippen. Interessanterweise macht es einen Unterschied, ob erst nach hinten und dann nach rechts oder in umgekehrter Reihenfolge gekippt wird.

Räumliches Visualisieren

Dies ist die Fähigkeit, sich räumliche Objekte auf Grund einer verbalen Beschreibung, eines Schrägbildes oder eines Bauplanes vorzustellen - und darüber hinaus mit ihnen zu operieren. Dabei geht das Operieren über Drehungen hinaus: Man stellt sich Zerlegungen, Verschiebungen, Dehnung/Stauchung oder auch Einfärbungen usw.  vor.

Bei der Arbeit mit Körpernetzen gilt es, einen Körper gedanklich "aufzufalten"; zu entscheiden, ob eine Figur ein Körpernetz ist oder nicht; in gegebenen Netzen Flächen, die sich im Körper gegenüberliegen einzufärben; gefärbte Netze mit gefärbten Körpern zu vergleichen usw. 

Kopfgeometrie braucht Zeit

Die Arbeit mit kopfgeometrischen Aufgaben ist ein eher längerfristiges Projekt. Nimmt man besonders die Phase der Diskussion und Überprüfung der gedanklichen Überlegungen ernst, brauchen die Lernenden Material und wir Lehrende Zeit und Geduld für die praktisch-gegenständlichen Aktivitäten und die Fragen und Überlegungen der sich ausprobierenden Schülerinnen und Schüler. Dennoch ist (Kopf-)Geometrie ein lohnendes Unterfangen und kann bei den "täglichen Übungen" zum Wachhalten von Basiswissen gut integriert werden. 

Literatur 

Klaus-Peter Eichler (2017): Kopfgeometrie. Aufgaben zur Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens - In: Mathematik 5-10, Ausgabe 39, S. 42 - 45.

Christoph Hammer (2011): Immer mal wieder ... Aufgabenideen zur Kopfgeometrie - In: mathematik lehren 167, S. 25 - 27.

Jürgen Roth (2011): Geometrie im Kopf. Bewegliches Denken nutzen und fördern - In: mathematik lehren 167, S. 28 - 31.

Christine Streit, Guido Pinkernell (Hrsg.)(2011): Kopfmathematik - mathematik lehren 167, Friedrich Verlag. 

Zum Weiterlesen

Christof Weber (2018): Ein Quadrat im Kopf verändern - In: Mathematik 5-10, Ausgabe 45

Christof Weber (2010): Mathematische Vorstellungsübungen im Unterricht. Ein Handbuch für das Gymnasium Klett/Kallmeyer.

Fakten zum Artikel
Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 5-10

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Mehr zum Thema lesen Sie in diesen Beiträgen, die über unser Angebot Friedrich+ Mathematik abrufbar sind:

Ein Quadrat im Kopf verändern
Aufgaben formulieren