Hans Schupp

Reduktion einer Inhaltsbestimmung

Hans Schupp

Wege zum Flächeninhalt eines 12-Ecks

Auf S.169 meines Mathematikbuches in der Obertertia (1949) fand ich neulich zufällig folgende Aufgabe:
Beweise: Das regelmäßige 12-Eck mit Umkreishalbmesser r hat den Flächeninhalt F = 3r2.
Sie steht im Kapitel „Regelmäßige Vielecke. Stetige Teilung. Dort wird zunächst gezeigt, dass man die Seitenlänge s2n des regelmäßigen 2n-Ecks aus der des regelmäßigen n-Ecks berechnen kann. Mit dieser Hilfe lassen sich die Seitenlängen der Dreiecksfolge bestimmen:
s3=r3;s6=r;s12=r23;s24=
Von daher verwundert es, dass man für den Inhalt des regelmäßigen Zwölfecks eine solch einfache Formel erhält, sogar mit einem ganzzahligen Koeffizienten von r2, dies im Unterschied zu entsprechenden Formeln für benachbarte n-Ecke, selbst zu der des regelmäßigen Sechsecks
FSechseck = 323r2 .
1. Beweis
Trotzdem wird man im Beweis wohl vom regelmäßigen Sechseck ausgehen (Abb.1 ). Dessen gleichseitiges Bestimmungsdreieck ABM hat die Höhe 123rund den Inhalt 143r2. Fügen wir das gleichschenklige Dreieck ABC mit Basis AB und Höhe CD hinzu, so haben wir zwei kongruente Bestimmungsdreiecke des regelmäßigen 12-Ecks. Die Strecke AB hat die Länge r, CD die Länge rr23,Dreieck ABC folglich den
Inhalt 121123r2. Für das Drachen-viereck MACB ergibt sich schließlich
143r2+121123r2=12r2.
Im regelmäßigen Sechseck ist es 6-mal enthalten: 612r2=3r2
So...

Friedrich+ Deutsch

Sie sind bereits Abonnent?

Jetzt anmelden und sofort lesen

Jetzt weiterlesen mit Friedrich+ Mathematik!

  • Digitaler Vollzugriff auf die Inhalte der Zeitschriften mathematik lehren und Mathematik 5–10
  • Intuitive Benutzeroberfläche mit thematischer Struktur und intelligenter Suche
  • Jährlich über 100 neue didaktische Beiträge, Unterrichtseinheiten, Arbeitsblätter, Bastelvorlagen, Bildmaterial, Methodenkarten, Aufgaben, Tests und vieles mehr

30 Tage kostenlos testen

Mehr Informationen zu Friedrich+ Mathematik

Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 210 / 2018

Messen

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 1-13