DANIEL FROHN

Mehr als Orthogonalität

DANIEL FROHN

Das Skalarprodukt beziehungsreich anwenden mit Grundvorstellungen

Das Skalarprodukt ist ein zentraler Begriff der analytischen Geometrie: Hiermit lassen sich nicht nur Winkel, Längen und Abstände berechnen, sondern auch Ebenengleichungen in Normalen- bzw. Koordinatenform geometrisch deuten. Algebraische Darstellungen geometrisch zu interpretieren und umgekehrt geometrische Situationen algebraisch zu beschreiben ist eine Kernkompetenz, die als innermathematischer Transfer zwischen Geometrie und Algebra verstanden werden kann (vgl. Abb.1 ).
Um einen solchen Transfer in der analytischen Geometrie herzustellen, reicht es nicht aus, das Skalarprodukt als Produktsumme zu berechnen und die Winkelformel anwenden zu können, da hierbei nur arithmetisch gearbeitet wird. Es sind Grundvorstellungen erforderlich, durch die die Rechenoperationen eine geometrische Bedeutung erhalten.
Im Folgenden beschreibe ich einen Unterrichtsgang, bei dem das Skalarprodukt im Hinblick auf den wechselseitigen Transfer zwischen Geometrie und Algebra beziehungsreich eingeführt und angewendet wird.
Einführung über den (Umkehr-)Satz des Pythagoras
Vektoren können arithmetisch als Tupel definiert und dann situationsangemessen geometrisch als Punkt, Ortsvektor, Verschiebung bzw. Menge von gleichlagen gleichgerichteten Pfeilen interpretiert werden (vgl. Malle 2005). Die Berechnung der Länge eines Vektors geschieht dann mit dem Satz des Pythagoras bzw. seiner Verallgemeinerung in drei Dimensionen. Schon vor der Einführung des Skalarprodukts kann die Orthogonalität von Vektoren „zu Fuß über den Umkehrsatz des Pythagoras geprüft werden (vgl. Arbeitsblatt 1 ):
Dieser Ansatz kann auch als Motivation zur Definition des Skalarproduktes dienen: Schreibt man die Gleichung allgemein in der Form
a1a2a32+ b1b2b32= a1b1a2b2a3b32
auf, so ist diese äquivalent zu a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.
Der linke Term dieser Gleichung wird dann als Skalarprodukt ab zweier Vektoren aund b

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aus: Mathematik lehren Nr. 218 / 2020

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Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 10-13