Frank Rehm

3er-Pentomino-Symmetrie

Asymmetrische Pentominos - wie ergeben sie symmetrische Figuren?
Asymmetrische Pentominos - wie ergeben sie symmetrische Figuren?, Friedrich Verlag

Frank Rehm

Das Spiel mit den sogenannten „Pentominos, also über die Seiten verbundenen fünf Quadraten, regt in MatheAGs oder auch im Unterricht zum Knobeln an. An manchen Schulen werden auch Fragen im Zusammenhang mit „Poly-Spielen erforscht. Dabei geht es stets darum, nach bestimmten geometrischen Vorgaben gleichartige Objekte zu verbinden und dazu Legeaufgaben in der Ebene oder im Raum sowie kombinatorische Aufgaben zu lösen.
Inspiriert von der aus Finnland stammenden Legeaufgabe „Symmetrick, die ich in meinem Beitrag „Neuartige geometrische Legeaufgaben (mathematik lehren 192, S. 50 f.) vorgestellt habe, wollte ich die Idee auf Pentominos übertragen: Bei Symmetrick soll aus zwei verschiedenen unsymmetrischen Teilen eine symmetrische Figur (die nicht vorgegeben ist) gelegt werden. Also wähle ich von den Pentominos diejenigen aus, die asymmetrisch sind. Das sind die in der Abb. 1 dargestellten Teile mit den üblichen Namen F, L, N, P, Y.
Die Aufgabe lautet nun: Aus je drei der fünf Bausteine sollen symmetrische Figuren gelegt werden, welcher Art auch immer. Dabei dürfen die Teile beidseitig verwendet werden, sich aber nicht gegenseitig überlappen. Innerhalb der Zielfiguren dürfen auch Hohlräume liegen. Es wird auch nicht unbedingt eine zusammenhängende Figur gefordert.
Allgemeine Überlegungen dazu: Bei fünf Teilen gibt es insgesamt
$$\frac{5!}{2!\cdot 3!}\mathrm{=}\mathrm{10}\mathrm{Dreier}\mathrm{s}\mathrm{ets}$$
Für jedes der Sets ist zu prüfen, welche von den folgenden drei Symmetriearten eine Lösung zulässt:
  • „gitterorientierte Achsensymmetrie (Beispiel s. Abb. 2 )
  • diagonalorientierte Achsensymmetrie (Beispiel s. Abb. 3 )
  • Punktsymmetrie mit einem Drehwinkel von 180° (Beispiel s. Abb. 4 )
Mich zumindest kann diese Knobelei süchtig machen, besonders wenn sich zuerst kein Erfolg einstellt So viel sei verraten: Für die denkbaren 30 Aufgaben gibt es fast immer eine Lösung.
Man kann auch die Einschränkung aufgeben, unbedingt drei verschiedene Legeteile zu benutzen dann kommen zu den betrachteten zehn Spielesets weitere 25 dazu, mit jeweils drei Symmetrieproblemen. Das ergibt also weitere 75 Lege-Aufgaben. Die Zahl ergibt sich daraus, dass man von 5 Objekten 3 mit möglicher Wiederholung auswählen kann das sind die Kombinationen (5 + 3 1)!/(3! · 4!) = 35. Abb. 5 zeigt eine Beispiellösung für die drei Teile L-L-N mit Diagonal-Symmetrie.
Die hier besprochenen Knobeleien fördern auf besondere Weise den Symmetriebegriff, wobei die Vielfalt an Möglichkeiten die Kreativität der Spielenden in hohem Maße anregen wird. Es gibt auch einige Aufgaben, die überraschend schwer sind: Hierzu gehört etwa der Versuch, drei identische L-Teile zu einer Lösungsfigur zu arrangieren. Wohlgemerkt, die Teile dürfen auch gewendet werden, bei gleichen Teilen können also auch spiegelbildliche Kopien vorkommen.
Viel Spaß beim Knobeln !
Aufgaben: Symmetrische Figuren legen
Aufgaben: Symmetrische Figuren legen
Pentominos sind Figuren aus fünf Quadraten. Die Quadrate sind so zusammengestellt, dass sie mindestens eine volle Kante gemeinsam haben. Da sie großen Buchstaben ähnlich sehen, hat man sie nach denen benannt. Es gibt 12 Pentominos, von denen fünf nicht symmetrisch sind.
1. Finde die Pentominos, die nicht symmetrisch sind. Bastle sie aus Pappe (Puzzlestein).
2. Wähle drei deiner unsymmetrischen Pentomins aus. Lege damit eine symmetrische Figur. Die Teile dürfen sich nicht überlappen, aber es können auch „Hohlräume entstehen. Du darfst sie dabei auch beidseitig legen (Vorder- und Hinterseite vertauschen). Zeichne die Figur auf Karopapier und gib die Symmetrie an.

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 198 / 2016

Langfristiger Kompetenzaufbau

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-13