Pythagoras verallgemeinert

Der Satz von Thâbit ibn Qurra

Eine alte, aber wenig bekannte Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf nicht rechtwinklige Dreiecke wird vorgestellt. Einer der aufgezeigten Wege zu ihrer Begründung ist erstaunlich einfach.

Zur Person

Thâbit ibn Qurra war ein sabischer Mathematiker, der im 9. Jahrhundert im „Haus der Weisheit“ in Bagdad wirkte. Er übersetzte u. a. die Kegelschnittlehre von Apollonios aus dem Griechischen und kommentierte die Elemente des Euklid. Eine seiner eigenen mathematischen Leistungen war eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf nichtrechtwinklige Dreiecke. In einer solchen Verallgemeinerung darf seiner Auffassung nach der Spezialfall nicht verloren gehen. Thâbit ibn Qurra war überzeugt, dass allgemeines Wissen spezielles immer nur potenziell erhält, und dass Wissen erst dann perfekt ist, wenn es das Allgemeine mit dem Speziellen zusammenführt. Lernen sollte demnach, allmählich verallgemeinernd, zu umfassendem Wissen führen (vgl. Sayili 1960, S. 37).   

Der Satz

„Liegen die Punkte P und Q so auf der Strecke AB, dass die Dreiecke APC und CQB ähnlich zu ABC sind, dann ist die Summe der Inhalte der Quadrate über CA und BC gleich der Summe der Inhalte der über AP und QB errichteten Teilrechtecke im Quadrat über AB.“ Das Bild oben zeigt die Situation bei einem stumpfen Winkel γ bei C, der wir uns nun zuwenden wollen.

Ein historisch motivierter Beweis über den Kosinussatz

Wie hat Thâbit ibn Qurra diesen Satz bewiesen? So genau wissen wir das natürlich nicht. Überliefert ist allerdings, dass er zur Begründung auf die Elemente des Euklid verweist (Sayili 1960, 36). Möglicherweise hat er den Kosinussatz verwendet, der sich als Proposition 12 und 13 im 2. Buch der Elemente findet (Sayili 1960, 36 f.).   

Wie können wir diesen Satz nun mit dieser Idee beweisen? Begeben wir uns auf den vorgeschlagenen Weg, dann könnten wir ihn einerseits aus dem Kosinussatz herleiten oder uns andererseits von ihm aus zurückhangeln zum Kosinussatz, zwei nützliche Heuristiken:

  • Vorwärtsarbeiten vom Gegebenen zum Gesuchten – Herleiten
  • Rückwärtsarbeiten vom Gesuchten zum Gegebenen – Zurückhangeln  

Oft bewährt sich mehr noch eine Kombination dieser beiden Heuristiken.

Die Länge der Strecke zwischen zwei Punkten X und Y notieren wir im Folgenden mit XY.
Beginnen wir zunächst vorwärts mit dem Kosinussatz (in unserer heutigen Notation!)

CA2 + BC2 – 2 CA · BC · cos γ =  AB2

dann erhalten wir bereits nach einer einfachen Umformung eine erfolgversprechende  Startposition – der linke Term beschreibt bereits die gewünschte Summe der Quadratinhalte:

CA2 + BC2 =  AB2  + 2 CA · BC · cos γ

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Doch wie bekommen wir den Term rechts so transformiert, dass wir nach Nutzung der Voraussetzung, also der Ähnlichkeit der Dreiecke, die Summe der Rechteckinhalte

AP · AB + QB · AB

sehen können?
Arbeiten wir nun auch rückwärts: AB ist im Zielterm zumindest schon mal enthalten, aber noch nicht quadratisch. Erfreulicherweise können wir den fraglichen Flächeninhalt aber auch leicht so beschreiben:

AB2 – PQ · AB,

denn das Quadrat ist – wie man sieht! – um dieses Rechteck reduziert. Wer will, darf das aber auch nachrechnen.

Bleibt also „nur“ noch zu begründen, dass PQ · AB = – 2 CA · BC · cos γ gilt.

Um weitere Schritte (vorwärts oder rückwärts) gehen zu können, sammeln wir nun (wieder vorwärts) weitere Informationen und identifizieren dabei Teilprobleme – auch eine wichtige Heuristik. Wir bringen γ ins Spiel:

  • Das Dreieck PQC ist gleichschenklig (QC = CP), da die Winkel bei P und Q wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gleich groß sind, nämlich 180° – γ =:  γ‘. Es ist damit auch PL = LQ mit dem Lotfußpunkt L.
  • PL = cos γ‘ · PC
  • cos γ‘ = – cos γ

Damit können wir weiter argumentieren:

PQ · AB = (PL + LQ) · AB = 2 · PL · AB = 2 · cos γ‘ · PC · AB = – 2 · PC · AB · cos γ

Wir sind nun schon viel näher am Kosinussatz ;-)

Bleibt als letzter Schritt noch zu zeigen, dass gilt

PC · AB = BC · CA

Welche Zusammenhänge kennen wir zwischen den hier vorkommenden Seitenlängen? AB und BC sind Seitenlängen im Dreieck ABC, und PC und CA sind die korrespondierenden im dazu ähnlichen Dreieck PCA.  Die entsprechende Verhältnisgleichung lautet

AB / BC = CA / PC,

und sie ist äquivalent zur gewünschten Produktgleichung.

Insgesamt haben wir also durch Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten sowie durch Zerlegen in Teilprobleme folgende Begründung erbracht:

 CA2 + BC2

= AB2 + 2 · CA · BC · cos γ (Kosinussatz)

= AB2 + 2 · PC · AB · cos γ (Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und PCA)

= AB2 – 2 · PC · AB · cos γ‘ (γ‘ Nebenwinkel von γ)

= AB2 – 2 · PL · AB (Definition Kosinus)

= AB2 – (PL + LQ) · AB (PQC gleichschenklig – wegen Ähnlichkeit PCA und QBC)

= AB2 – PQ · AB (Der Lotfußpunkt L halbiert PQ)

= AP · AB + QB · AB (Darstellung des Flächeninhaltes durch Zerlegen statt Ergänzen)

Damit haben wir eine schöne Aufgabenstellung zu einer historisch motivierten innermathematischen Anwendung des Kosinussatzes und zur erfolgreichen Nutzung zentraler Heuristiken. Der Fall, dass der Winkel γ spitz ist, verläuft ganz analog, wenn man im Blick hat, dass sich die Teilrechtecke dann überlappen, was lokalen Einfluss auf die Vorzeichen hat.

Aber geht es nicht insgesamt auch einfacher?

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Ein schlichter Beweis zum verallgemeinerten Satz des Pythagoras über Ähnlichkeit

Es geht sogar noch sehr viel einfacher! Wir begründen die Kathetensatzvariante, dass die Quadrate jeweils den gleichen Flächeninhalt haben wie ihre zugehörigen Rechtecke – woraus der Satz unmittelbar folgt.

Warum gilt CA2 = AP · AB (bzw. analog BC2 = QB · AB)?

Nun: CA2 = AP · AB ist äquivalent zu CA / AB = AP / CA, und Letzteres ist schlicht eine passende  Verhältnisgleichung zur Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und APC.

So einfach?! Wusste Euklid das noch nicht?

Die Aussage „CA2 = AP · AB ist äquivalent zu CA / AB = AP / CA“ über den Zusammenhang zwischen den Streckenlängenverhältnissen und den Flächeninhalten findet sich tatsächlich auch in den Elementen, als Proposition 17 (bzw. allgemeiner für zwei Rechtecke statt Quadrat und Rechteck als Proposition 16) im 6. Buch. Thâbit ibn Qurra könnte mit seinem Verweis auf die Elemente also auch diese Proposition gemeint haben – und dafür spricht durchaus die Einzeiligkeit der dadurch möglichen Begründung, die beim Beweis über den Kosinussatz so nicht gegeben ist.  

Der Beweis der Propositionen 16 und 17 im 6. Buch erfolgt mangels eines knappen algebraischen Kalküls – wie unserem eleganten heutigen – über umfangreiche geometrische Argumente: Streckenlängenvergleiche, Flächeninhaltsvergleiche und Verhältnisse an und bei Dreiecken und Parallelogrammen, die sich auch auf Aussagen aus dem vorherigen 5. Buch stützen.

In „Euklids Elemente, funfzehn Bücher aus dem Griechischen übersetzt von Johann Friedrich Lorenz. Halle, 1781. Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhaußs" sieht das dann so aus: Download: Euklids Elemente. Eine reduzierte Version dieser Übersetzung wurde damals in der Schule verwendet.

Ja: Die Macht des Kalküls ist doch immer wieder erstaunlich: CA2 = AP · AB <=> CA / AB = AP / CA. Fertig.

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Literatur

Lorenz, J. F. (1773): Euklids sechs erste Bücher der geometrischen Anfangsgründe zum Gebrauch der Schulen, Halle.

Sayili, A. (1960): Thâbit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem. Isis, Vol. 51, No. 1 (Mar., 1960), S 35-37.

Jetzt online lesen: Mehr zum Satz des Pythagoras

Pythagoras vielfältig erleben - mathematik lehren 216

Fakten zum Artikel
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 8-10
  • Thema: Geometrie
  • Autor/in: Anselm Lambert, Jonas Lotz
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