Herr Möbius und sein Band

Das Logo der aktuellen EU-Ratspräsidentschaft zeigt ein spannendes mathematisches Objekt. Mit Papier, Kleber, Schere und unserem Arbeitsblatt zum Download sind Sie gut ausgerüstet für eine Einzel- oder Doppelstunde mit systematischen Erkundungen.

Es ist schon ein ganz besonderes Ding - weil es Eigenschaften hat, die so ganz gegen unsere Alltagsvorstellungen sind, die man wirklich nicht erwartet: Das Möbiusband ist ein Gebilde mit nur einer Seite und einer Kante. Eine verdrehte Fläche, eingebettet in den dreidimensionalen Raum. Ein Objekt ohne so eindeutiges oben und unten, innen und außen. Unter dem richtigen Blickwinkel betrachtet, erinnert sie an das Symbol der Unendlichkeit. Aktuell wurde für das Logo der deutschen EU-Ratspräsidentschaft ein Möbiusband gestaltet - "Ein starkes Band für ein einiges Europa".

Eine unterhaltsame und lehrreiche Bastelei

Das Möbiusband ist die Fläche, die man erhält, wenn man die Enden eines schmalen rechteckigen Papierstreifens mit einer Drehung von 180° zusammenklebt. Das Band ist also einseitig (Vorder- und Rückseite wurden ja miteinander identifiziert) und hat nur eine Randkurve - prüfen Sie es ruhig durch Abfahren mit einem Stift. Bei Wikipedia findet sich  dazu eine schöne Animation mit zwei Kugeln, die den Rand entlang rollen und nie kollidieren (hier).

Was wäre wenn ...? Schritte im Unterricht

Methodisch hat es sich bewährt, nicht gleich mit der Tür ins Haus zu fallen. Immer im Wechselspiel zwischen Vermutungen anstellen und eigenem Ausprobieren kann man mit einem einfachen Papierring beginnen und (als erste Kopfmathematik-Übung) fragen: Stellt euch vor, dieser Ring würde der Länge nach auseinander geschnitten. Was erhaltet ihr? Dann wird die Sache verdreht(er). Und sobald jeder sein Möbiusband in Händen hält, wird es "von allen Seiten" erkundet, möglichst genau die Unterschiede zum Ring beschrieben und erst, nachdem jeder eine Hypothese für den Effekt eines Längsschnitts hat, tatsächlich zu Schere gegriffen. 

Nun kann man so richtig loslegen: Mehrfache Umdrehungen vor dem Zusammenkleben werden ebenso systematisch untersucht wie mehrfaches Auseinanderschneiden. Und wer noch weitere Überraschungen mag: Nehmen Sie zwei Papier-Ringe und kleben Sie diese um 90° verdreht aneinander. jetzt wieder vorsichtig der Länge nach durchschneiden (erst den einen, Zwischenstopp zum Hypothesenbilden, dann den anderen). Hätten Sie das Ergebnis vermutet? Und was meinen Sie, wird aus zwei Möbiusbändern, mit denen analog verfahren wird?

Praktisch und ästhetisch sind Möbiusbänder auch: als Flachriemen bieten sie einen gleichmäßigen Abrieb, als Loop-Schal oder Schmuckstück tauchen Sie in der Mode auf und die krabbelnden Ameisen in der Escher-Grafik sind nur ein Beispiel für die künstlerische Beschäftigung mit diesem Phänomen.

Ein kurzer Blick in die Geschichte

Das Möbiusband hat genaugenommen zwei "Väter: 1858 beschrieben unabhängig voneinander der Göttinger Johann Benedict Listing (Mathematiker und Physiker) sowie der in Leipzig arbeitende August Ferdinand Möbius (Mathematiker und Astronom) das Objekt. Nach Herr Möbius wurden nebenbei auch eine Geometrie, eine Funktion, eine Transformation, ein Mondkrater und ein Asteroid benannt. Eine "Formel" für dieses Gebilde wurde erst 2010 entdeckt - unter Zuhilfenahme physikalischer Betrachtungen. Genauer gesagt, wird die Verformungsenergie, die beim Verdrehen entsteht, minimiert. Das Verhältnis von Länge und Breite des Streifens entscheidet damit letztlich über die tatsächliche Form. Dabei muss die Länge des Papierstreifens größer sein als seine Breite, und zwar mindestens √3 ≈ 1,73 mal so groß, um die beiden Enden um 180° verdreht zusammenzubringen (Blum 2010).
1882 beschrieb Felix Klein die nach ihm benannte Kleinsche Flasche, eine weitere nicht-orieniterbare Mannigfaltigkeit, die beim Auseinanderschneiden zwei Möbisbänder ergibt (ein Erklär-Video mit Animation (engl/d) finden Sie hier).

Zum Download-Material

Arbeitsblatt 1

Arbeitsblatt 2

Literatur

Ines Petzschler, Stephanie Schiemann, Günter M. Ziegler (2015): Möbius-Bänder: zeitlos schön. - In: mathematik lehren 193, Friedrich Verlag, S. 11-13.

Wolfgang Blum (2010): Rätsel der Endlos-Rennstrecke gelüftet. In: SZ (hier)

Fakten zum Artikel
Unterricht (< 45 Min)

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