Wilfried Herget

Aufgaben formulieren (lassen)

Wilfried Herget

Weglassen und Weg lassen das ist (k)eine Kunst

Aufgaben formulieren ist nicht leicht. Irgendwie ist es eine Kunst, mit viel Fantasie und dem Blick sowohl auf die Mathematik als auch auf unsere Adressaten. Kann man diese Kunst lernen? „Fantasie haben heißt nicht, sich etwas auszudenken; es heißt, sich aus den Dingen etwas machen (Thomas Mann). Hier einige elementare „kunsthandwerkliche Fähigkeiten dafür.
Wie sag ichs bloß?
Viele Jahre lang hatten meine Erfahrungen beim Stellen und Korrigieren von Aufgaben dazu geführt, dass die Formulierungen immer ausgefeilter und umfangreicher wurden; sorgfältig ergänzt mit hilfreichen Hinweisen, Benennungen und Zeichnungen, dabei möglichst dem Muster „vom Konkreten zum Allgemeinen folgend. Ein Beispiel aus der Analysis (Herget 1995b):
Rollt man einen Kreissektor zusammen, so entsteht ein Kegelmantel. Der Umfang U des zugehörigen Kegel-Grundkreises ist dann gleich der Bogenlänge b des Kreissektors.
a) Wie groß muss der Mittelpunktswinkel α sein, damit ein Kegel mit Seitenhöhe s = 8cm und Grundkreis-Radius r = 3cm entsteht?
b) Bei welchem α entsteht ein Kegel mit maximalem Volumen?
Genau so! Genau so? Gut so?
kurz: auf den Kern reduziert
Als Kontrast dazu die gleiche Aufgabe, auf den wesentlichen Kern abgespeckt:
Rollt man einen Kreissektor zusammen, so entsteht ein Kegel. Bei welchem Mittelpunktswinkel des Sektors entsteht ein Kegel mit maximalem Volumen?
Die konkrete Rechenaufgabe in a) wurde gestrichen, der erläuternde Lösungshinweis zu Beginn fehlt, in der Skizze wurden alle Benennungen weggelassen, ebenso fehlt die zweite Abbildung.
Natürlich wird die Aufgabe durch dieses Weglassen (und Weg lassen) anspruchsvoller. Denn nun müssen die Schülerinnen und Schüler selbst die Situation mathematisieren: Sie müssen den Zusammenhang zwischen Grundkreis-Umfang und Kreissektor-Bogenlänge finden, müssen selbst die entsprechenden Benennungen einführen und schließlich den Weg hin zur Lösung der allgemeinen Fragestellung finden. Aber sind dies nicht gerade Fähigkeiten, die auch in Zukunft eben nicht dem Computer übertragen werden können? Vermutlich ist für viele Abiturienten eine solche Aufgabe schwerer als manche heute übliche Abituraufgabe. Einfach weil sie ungewohnt ist. Doch: Das lässt sich ändern.
Die Kunst des Weglassens
Die vorhandene oder nicht vorhandene Ausgestaltung einer Zeichnung beeinflusst den Anforderungscharakter einer Aufgabe ganz erheblich. Als Beispiel eine Aufgabe für Jg. 9/10 oder für die Sek. II (Herget 1995a):
→ Wie groß ist der Winkel, den eine Raumdiagonale eines Würfels mit einer anliegenden Kante bildet?
Diese Aufgabe ist ganz bewusst so knapp und ohne erläuternde Zeichnung formuliert. Benennungen und Variablennamen fehlen, Lösungswege sind nicht vor„gezeichnet, eine passende Mathematisierung wäre erst noch geeignet zu wählen. Dies ist anspruchsvoll, anstrengend, aufwendig und lehrreich.
Würde man eine Zeichnung ergänzen (vgl. Abb. 1 ), mit einem günstigen Koordinatensystem, mit nützlichen Hilfslinien und Benennungen, so wäre dadurch ein Lösungsweg vorgebahnt und die Lösung (und, zugegeben, auch die Korrektur) erheblich erleichtert wenn (!) es denn nur aufs rechnerische Ergebnis ankommen soll. Ohne das „Vor-Zeichnen ist es dagegen nötig, sich erst einmal selbst „ein Bild zu machen von der beschriebenen Situation und selbst eine Skizze anzufertigen, die die eigenen Gedanken zunächst ordnet und dann führt. Dieses „Sich-selbst-ein-Bild-machen-können ist aber eine wertvolle, über den konkreten Inhalt hinausweisende Fähigkeit und wird hier mitgefordert und mitgefördert.
Weniger ist manchmal mehr. Manchmal.
Spätestens seit PISA 2000 begegnen mir Aufgabenkomplexe, die wortreich eine vermeintlich reale Situation beschreiben, in der es eine wohlkonstruierte Sequenz von vermeintlich realen Fragen zu beantworten gilt:
→ in Bauer pflanzt Apfelbäume an, die er in einem...

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aus: Mathematik lehren Nr. 200 / 2017

Mathematik auf den Punkt bringen: Reduktion

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