Dirk Tönnies

Wie bewegt sich der 2. Punkt?

Die y-Koordinate eines Punktes bewegt sich x-Achse.
ungewöhliche Darstellung von Koordinaten, © Dirk Tönnies

Dirk Tönnies

Quadratische Funktionen in ungewöhnlicher Darstellung

Das Beschreiben eines Funktionsgraphen und die Untersuchung seines Verlaufs sind wichtige Grundlagen für ein verständnisvolles Umgehen mit Funktionen. Allerdings ist den Schülerinnen und Schülern oft unklar, was eigentlich das Wesentliche für die Beschreibung des Graphen ist.
Zur Unterstützung der Lernenden in diesem Punkt ist ein digitales Arbeitsblatt entstanden, das den Blick für die Abhängigkeit einer Variablen von der anderen schult. Dabei wird ungewöhnlicherweise die y-Achse gedreht und parallel unter die x-Achse gelegt.
Wie eine solche Datei erstellt werden kann, zeigt der Kasten.
Wie kann man in GeoGebra eine Funktion auf zwei parallelen Geraden darstellen?
Wie kann man in GeoGebra eine Funktion auf zwei parallelen Geraden darstellen?
Zunächst müssen zwei parallele Geraden gezeichnet werden.
Anschließend wird ein Punkt auf die oberen Gerade gesetzt.
Mit dem Befehl „x(NamePunkt) kann jetzt der x-Wert des Punktes ausgelesen werden.
Für den zugehörigen Funktionswert werden dann die Punktkoordinaten in der Eingabezeile eingegeben.
Hierfür muss auch die Lage der unteren Parallelen bekannt sein.
Benötigt wird dafür der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der y-Achse in Geogebra.
Beispiel:
Angenommen, der Punkt E „läuft auf der waagerechten x-Achse und die dazu parallel laufende zweite Gerade schneidet die y-Achse bei y=3.
Dann muss für die Funktion f(x) = 2 ∙ x² 1 Folgendes eingegeben werden:
„(2∙x(E)^21, 3)
Allgemein: (Funktionsterm, y-Wert des Punktes)
Erkundungsphase
Zum Einstieg in diese Stunde zeige ich der Klasse am Whiteboard eine von mir vorbereitete Datei (Abb. 1 ) und bewege langsam den Punkt E von ganz links bis ganz rechts und wieder zurück. Der Punkt E stellt hier den x-Wert einer Funktion dar, Punkt F ist der entsprechende Funktionswert. Der Punkt E kann auf der Geraden verschoben werden. Der Punkt F verändert sich entsprechend der hinterlegten Funktion.
Im Unterrichtsgespräch beschreiben die Schülerinnen und Schüler die Veränderungen vom Punkt F:
  • „Wenn E größer wird, wird F auch größer.
  • „Je weiter E ins Negative geht, umso größer wird F.
  • „F wird nicht kleiner als 2.
  • „F wächst schneller als E.
  • „Der Scheitelpunkt liegt bei (0 | 2).
  • „Die Parabel ist nach oben geöffnet.
Nun gebe ich in einem zweiten Grafikfenster mehrere Funktionsgraphen in der bekannten grafischen Darstellungsform vor (Abb. 2 ).
„Was meint ihr, welche Funktion aus dem zweiten Fenster passt zu der zuerst dargestellten Funktion mit den Punkten E und F?
Die Lernenden erkennen schnell auf der Basis der zuvor notierten Eigenschaften, dass es sich um den ersten Funktionsgraphen handeln muss, also f(x) =  + 2.
Nach diesem ersten Einstieg in die Aufgabe laden sich die Jugendlichen die Datei auf ihre Netbooks herunter. Zusätzlich notieren sie sich die bereits besprochenen Ergebnisse zur ersten Funktion sowie die passende Funktionsgleichung.
Anschließend werden weitere, ähnlich gelagerte Aufgaben bearbeitet. Dazu habe ich drei weitere Dateien mit Funktionen vorbereitet, bei denen die x- und die y-Achse wieder parallel zueinander verlaufen. Die Schülerinnen und Schüler sollen diese Funktionen untersuchen und herausfinden, welche der Parabeln aus dem zweiten Grafikfenster dargestellt wurden. Eine dieser Dateien (Abb. 3 ) stellt eine Funktion dar, die aber nicht zu einer der im zweiten Grafikfenster dargestellten Funktionen passt. Hier sollen die Lernenden den Verlauf des Graphen in einem Koordinatensystem skizzieren.
Denjenigen, die mit der Bearbeitung der drei Funktionen fertig sind, erkläre ich kurz, wie sie die Funktionsgleichungen in der GeoGebra-Datei verändern können, um auch andere Funktionen mithilfe der beiden parallelen Geraden darzustellen. Nun sollen sie selbst für ihre Mitschülerinnen und Mitschüler weitere Funktionen erstellen. Nach der Methode des Lerntempoduetts ergeben sich dabei...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik 5-10 Nr. 49 / 2019

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