Ulrich Schönbach

Wenn sich eine Streckung als Verschiebung entpuppt …

Screenshot: www.geogebra.org

Ulrich Schönbach

Angeregt durch den Beitrag „Strecken. Stauchen, Verschieben nicht nur bei Parabeln …“ in mathematik lehren 218 und den nun in der digitalen Ausgabe korrigierten Umformungsfehler (s. Korrektur-Kasten), drängen sich einige ergänzende Überlegungen auf.
Korrektur zu mathematik lehren 218 S. 22
Korrektur zu mathematik lehren 218 S. 22
Auf Seite 22 (rechte Spalte) ist uns leider ein Fehler bei der Anwendung der Potenzgesetze unterlaufen. Statt
aed(x-b)+c
= aedex-b+c
= a' ex-b+c
mit a' = a·ed
muss die Umformung und damit auch die Substitution ersetzt werden durch:
a·ed∙(x-b) +c
= a·ed x+(-db)+c
= a·edx·e-db+c
= a' ·edx+c
mit a' = a·e-db
Wir danken Herrn Schönbach für seinen Hinweis und den dadurch angeregten Beitrag.
Aus übergeordneter Sicht wird in dem Beitrag ein Quadrupel von Parametern a, b, c und d betrachtet, das ausgehend vom Graphen eine Funktion f, die als „prototypisch für die jeweils betrachtete Funktionsklasse angenommen werden kann den Zusammenhang einer „allgemeinen Funktion g mit g(x)= a    f(d(x –  b))+c für a, d ≠ 0 mit eben jenem „Prototypen herstellt.
Bei der Klasse der Sinusfunktionen („Prototyp f(x)=sin(x)) sind tatsächlich alle vier Parameter unverzichtbar, um die phänomenologische Vielfalt von Sinuskurven angemessen beschreiben zu können. Zum Funktionsterm g(x)=asin(d(x – b))+c mit a,d0 sei angemerkt, dass der Verzicht auf das externe Minuszeichen bezogen auf den Parameter b mindestens überdacht werden sollte, um einem „blinden Identifizieren des Parameters und seiner abbildungsgeometrischen Wirkung entgegenzuwirken (vgl. Parameter d, nicht 1 d !).
Unabhängig von diesem Detail wird die Rolle der Parameter b und c als Translationsparameter deutlich. Die Parameter a und d werden nun mit senkrechten Achsenstreckungen verknüpft Schülerinnen und Schüler erkennen, dass der Parameter a den Graphen des „Prototypen senkrecht zur Abszissenachse mit dem Streckfaktor a streckt und der Parameter d eine Achsenstreckung senkrecht zur Ordinatenachse mit dem Streckfaktor 1 d bewirkt. Auf die bekannte Problematik der Abbildungsreihenfolge soll an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden.
Quadratische Funktionen Prototyp f(x) = x2
Der Intention folgend, dass möglicherweise ein Parameter „überflüssig sein könnte ( bei linearen Funktionen sind es sogar zwei!), lohnt sich ein Blick zurück zur Klasse quadratischer Funktionen. Mit Blick auf die Scheitelpunktform g(x)=a(x – b)2+c fragt sich der Betrachter, wo nun der Parameter d abgeblieben ist Die folgende Umformung, für die der Einfachheit halber a  >  0 angenommen wird, zeigt die wechselseitige Abhängigkeit des etablierten Parameters a und eines weniger etablierten Parameters d, der sich seinerseits zu d = a ergibt:
a(x – b)2+c
= ( a 2 (x – b)2+c
= ( a (x – b))2+c
= (d (x – b))2+c
Der Transfer auf die geometrische Betrachtungsebene zeigt einerseits, dass die in aller Regel absolut verwendeten Sprechweisen gestreckt/gestaucht einer Richtungspräzisierung bedürfen und dass wie bei zentrischen Streckungen gängige Praxis der Streckungs- oder Stauchungseffekt besser am Betrag des jeweiligen Streckfaktors festgemacht werden sollte. Andererseits kann zum Beispiel...

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aus: Mathematik lehren Nr. 219 / 2020

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