Frederik Dilling, Horst Struve

Von der Kurve zur Funktion … und wieder zurück

Abb. 1: Ein Instrument zur Verdopplung des Würfels: Das Mesolabium mit Zeichenstiften in den Punkten D, F und H
Abb. 1: Ein Instrument zur Verdopplung des Würfels: Das Mesolabium mit Zeichenstiften in den Punkten D, F und H

Frederik Dilling, Horst Struve

Zur Geschichte des Funktionsbegriffs und den Implikationen für den Analysisunterricht

Ein vor ein paar Jahren erschienenes Buch über die Geschichte der Analysis trägt den Titel: 3000 Jahre Analysis (T. Sonar, 2011, Berlin, Springer). Der lange Zeitraum verwundert auf den ersten Blick, denn Analysis wird heutzutage in der Schule und Hochschule als Theorie von Funktionen (Abbildungen vom reellen Zahlkörper ℝ in sich bzw. von ℝm in den ℝn) verstanden. Der Funktionsbegriff ist aber erst gut 250 Jahre alt. Womit beschäftigten sich dann vorher die Analytiker?
Im folgenden ersten Teil unseres Beitrages möchten wir eine Antwort auf diese Frage skizzieren und zugleich die Gründe darstellen, warum der Funktionsbegriff entwickelt wurde und so dominant wurde. Am Schluss des Artikels ziehen wir Folgerungen für den heutigen Analysisunterricht.
Analysis historisch: Theorie von Kurven
Das erste wissenschaftliche Werk, in dem eine mathematische Theorie lehrbuchmäßig dargestellt wurde, sind die Elemente des Euklid. In diesen wurde 300 v. Chr. eine mathematische Theorie erstmals axiomatisch-deduktiv aufgebaut die heutige „Euklidische Geometrie. Zu Beginn des 1. Buches der „Elemente werden die benutzten Begriffe definiert, die als klare Beschreibungen der Objekte angesehen wurden, um die es in der Theorie geht. Sodann werden Axiome formuliert sie wurden damals „Postulate genannt , die als „first principles, als unbezweifelbare Grundsätze, angesehen wurden und als inhaltlicher Ausgangspunkt für seine Beweise dienten. Diese übertrugen die Wahrheit der Postulate auf die Sätze der Theorie. Über Jahrhunderte hinweg sollte eine mathematische Theorie „more geometrico aufgebaut sein, d.h. nach dem Vorbild der „Elemente von Euklid.
Nicht nur methodisch, sondern auch inhaltlich, wurden durch die „Elemente Maßstäbe gesetzt. Geometrie wurde als Lehre von Figuren verstanden eine Auffassung, die bis zur Entdeckung nicht-euklidischer Geometrien im 19. Jahrhundert die vorherrschende war. Das 1. Buch der Elemente kann man als eine Theorie über Figuren und Kurven verstehen, die mit Zirkel und Lineal (ohne Skala) konstruiert wurden. Der Gebrauch dieser beiden Werkzeuge wurde in den Postulaten festgelegt. Zirkel und Lineal wurden vermutlich deshalb gewählt, weil man mit ihnen exakt konstruieren kann. Aber natürlich wurde dadurch die Anzahl der geometrischen Figuren und Kurven eingeschränkt.
Descartes hatte dann Mitte des 17. Jahrhunderts die Idee, die Zahl der präzise untersuchbaren Kurven zu erhöhen, indem er algebraische Hilfsmittel benutzte. Wie die Griechen, ging er von (etwa auf einem Zeichenblatt) konstruierten Kurven aus. Welche Konstruktionswerkzeuge dabei verwandt wurden, spielte für ihn keine Rolle. Es konnten die klassischen Werkzeuge wie Zirkel und Lineal sein, aber auch in der Geschichte später entwickelte Werkzeuge wie das bekannte „Mesolabium, bei dem mit einem aufklappbaren zweischenkligen Zirkel (Abb. 1 ) mit Hilfe von sechs rechtwinklig zu den Schenkeln angebrachten Linealen kompliziertere Kurven erzeugt werden können.
Einführung von Koordinaten
Eine Kurve bettete Descartes in ein Koordinatensystem ein, um sie mit Hilfe von Zahlen „analytisch zu beschreiben. Dies geschieht, indem zwei Koordinatenachsen auf das Blatt Papier, auf der sich die Kurve befindet, gezeichnet werden, eine x-Achse und eine y-Achse, sodass die Kurve im 1. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Jedem Punkt P der Kurve C kann man dann die Länge x der Abszisse (der Strecke, die vom Ursprung des Koordinatensystems und dem Schnittpunkt der Parallelen zur y-Achse durch P mit der x-Achse begrenzt wird) zuordnen und die Länge y der Ordinate (der Strecke, die vom Ursprung des Koordinatensystems und dem Schnittpunkt der Parallelen zur x-Achse durch P mit der y-Achse begrenzt wird).
Descartes betrachtet dann ausschließlich den Fall, dass die Kurve eine Relation zwischen Abszisse und Ordinate...
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aus: Mathematik lehren Nr. 217 / 2019

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