Mathias Hattermann, Hauke Friedrich, Roland Bender

Strecken, Stauchen, Verschieben –nicht nur bei Parabeln

Mathias Hattermann, Hauke Friedrich, Roland Bender

Das Erlernen des Funktionsbegriffs ist ein mehrjähriger Prozess, der sich über alle Jahrgangsstufen erstreckt und in der Hochschule fortgeführt wird. Wesentliche Aspekte bzw. Vorstellungen, die sich hierbei zum Funktionsbegriff an verschiedenen Beispielen ausbilden sollen, betreffen den Zuordnungsgedanken, den Aspekt der Kovariation und die Sicht als Ganzes (vgl. Greefrath u.a. 2016; Vollrath 1989).
Während der Zuordnungsgedanke, dass jedem x-Wert genau ein Funktionswert zugeordnet wird, statischen Charakter besitzt, ist der Kovariationsaspekt eine dynamische Sicht auf die Funktion, indem man ihr Änderungsverhalten fokussiert und die dynamische Abhängigkeit zweier Größen näher untersucht (vgl. Büchter 2008). Bei der Sicht auf die Funktion als Ganzes stehen globale Eigenschaften der Funktion sowie deren Verkettung (Addition, Subtraktion usw.) im Mittelpunkt.
Im vorliegenden Beitrag werden Möglichkeiten aufgezeigt, wie Vorstellungen zum Kovariationsverhalten und der Sicht als Ganzes mithilfe der Darstellungsformen Funktionsvorschrift, Tabelle und Graph gefördert und untereinander vernetzt werden können. Im Fokus stehen dabei die Parabel sowie die Exponentialfunktion.
Scheitelpunktform als Ausgangspunkt
Die Scheitelpunktform der Parabel wird im Unterricht üblicherweise dadurch motiviert, dass man an ihr direkt den Scheitel der Parabel ablesen und so die Kurve leichter zeichnen kann.
Das Umformen einer allgemeinen quadratischen Gleichung in die Scheitelpunktform erfordert technische Fertigkeiten wie das Ausklammern, das Anwenden der quadratischen Ergänzung und die rückwärts gerichtete Anwendung einer binomischen Formel. Diese technischen Erfordernisse zur Berechnung der Scheitelpunktform sind für viele Schülerinnen und Schüler der neunten Klasse schwierig und erfordern im Laufe der Erarbeitung viel Aufmerksamkeit. Daher bleiben inhaltliche Zusammenhänge bisweilen außen vor.
Insbesondere die inhaltliche Durchdringung der Verschiebung des Scheitelpunktes findet häufig zu wenig bis gar nicht statt. Die Deutung der sodann vorliegenden Scheitelpunktform wird dementsprechend oft auswendig gelernt, obgleich der Weg zur sinnstiftenden Interpretation gangbar, erweiterungsfähig und fruchtbar ist.
Der hier vorgestellte Ansatz rückt die inhaltliche Auseinandersetzung mit der Scheitelpunktform in den Mittelpunkt und zeigt, wie diese im Sinne eines proaktiven Transfers bei der Behandlung der allgemeinen Exponentialfunktion aufgegriffen werden kann. Ein analoges Vorgehen erlaubt das Übertragen der Parameterauswirkungen auf allgemeine Funktionen der Art f(x)=a ·g(d·(x – b))+c (für die Sinusfunktion vgl. etwa Friedrich u.a. 2017). Der Blick von dieser höheren Warte zurück auf die Exponential- und die quadratische Funktion kann im Sinne eines retroaktiven Transfers genutzt werden, um bestehendes Wissen zu festigen und aus allgemeinerer Sicht einen rückwirkenden Erkenntnisgewinn zu fördern.
Aus unserer Sicht ist es unabdingbar, den Lernenden und sich selbst ausreichend Zeit für die inhaltliche Interpretation der Parametereinflüsse der Scheitelpunktform einzuräumen. Die Kenntnisse zur Streckung in y-Richtung und der Verschiebung in x- und y-Richtung treten bei allen weiteren Funktionstypen in identischer Weise auf und sind lediglich um die Streckung in x-Richtung zu erweitern.
Parabel verschieben: beschreibend & erklärend
Anhand einer gemeinsamen Rückschau auf die quadratische Funktion, visuell unterstützt durch die GeoGebra-Dateien qF1, qF2 und qF3 sowie durch ein Informations- und ein Arbeitsblatt (Arbeitsblatt 1.1 ) kann zunächst an den Einfluss der Parameter a, b und c auf den Graphen der Parabelfunktion f mit f(x) = a·(x – b)2+ c mithilfe eines Beobachtungsauftrags erinnert werden. Die Begründungen für die jeweiligen Einflüsse der Parameter sind in dem Informationsblatt (Arbeitsblatt 1.2 /1.3 , vgl. Online-Material) exemplarisch...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 218 / 2020

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Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-10