Alexander Salle, Rudolf vom Hofe

Graphisch in die Analysis

Alexander Salle, Rudolf vom Hofe

Transferprozesse bei der Entwicklung des Ableitungs- und Integralbegriffs

Bei der Ableitung handelt es sich um einen komplexen Begriff, dessen Entwicklung die Koordination vieler Teilbegriffe und zahlreicher Transferprozesse erfordert. So ist es ein langer Weg von einer anschaulichen Auffassung von Steigung bis zum verständnisvollen Umgang mit der Ableitungsfunktion: In Klasse 8 wird der Begriff der Steigung im Zusammenhang mit linearen Funktionen entwickelt und ist zunächst an das Verhältnis von y- und x-Abschnitt im Steigungsdreieck gebunden. Etwas später kann dann dieses Verhältnis auch als Tangens des Steigungswinkels ausgedrückt werden. Bei der anschließenden Behandlung weiterer Funktionstypen in der Sek. I wird das Monotonieverhalten in Intervallen oder gelegentlich auch die mittlere Steigung über einem Intervall betrachtet. Eine kontinuierliche Steigungsänderung des Graphen haben die Schülerinnen und Schüler hierbei kaum im Blick.
Dies ändert sich mit dem Beginn des Analysisunterrichts, wenn man über Sekantensteigungen von sich nähernden Punkten das Konzept der Steigung in einem Punkt entwickelt. Bei diesem Prozess verschwindet zum einen das Steigungsdreieck, zum anderen führt eben dieser Prozess zur Ableitung, die es erlaubt, die Steigung in diesem Punkt nun als Steigung der Tangente aufzufassen. Es folgt die Ableitungsfunktion, bei der weder Steigungsdreiecke noch Tangenten direkt sichtbar werden; stattdessen zeigt sich die Steigung nun als Funktionswert.
Ein ähnlicher, vielleicht noch schwierigerer Weg lässt sich bei der Entwicklung des Integralbegriffs nachzeichnen, von der anschaulichen Flächenvorstellung des bestimmten Integrals bis zum verständnisvollen Umgang mit der Integralfunktion; auch hier verschwinden die Flächen und werden anschließend als Zahlen ausgedrückt.
Beide Wege erfordern ein Zusammenspiel von proaktiven und retroaktiven Transferschritten, die im Idealfall zu einem tragfähigen Konzept des Ableitungs- bzw. Integralbegriffs führen (vom Hofe/Lotz/Salle 2015). Die Praxis zeigt jedoch, dass ein solches tragfähiges Begriffsverständnis kein Selbstläufer ist, sondern dass es hier erhebliche Lern- und Verständnisschwierigkeiten gibt. So fällt es beispielsweise vielen Lernenden schwer zu verstehen, dass Integrale, die sie mit der Vorstellung anschaulicher Flächen verbinden, in der Integralfunktion nun als Ordinaten bzw. als Strecken auftauchen.
Umsetzungen im Unterricht
Da es sich beim Übergang der Steigung in einem Punkt zur Steigungsfunktion bzw. vom Flächeninhalt zur Flächeninhaltsfunktion um einen komplexen Prozess handelt, schlagen wir eine ausführliche Behandlung im Unterricht vor, in der das jeweilige qualitative Vorgehen graphisches Differenzieren bzw. graphisches Integrieren deutlich ausführlicher thematisiert, geübt und im Sinne eines spiralförmigen Vorgehens mit neuen Herausforderungen und Aspekten wiederholt aufgegriffen wird. Im Folgenden skizzieren wir eine exemplarische Umsetzung für das graphische Integrieren über die Flächeninhaltsvorstellung.
Graphisches Integrieren lineare Funktionen
Ausgangspunkt des graphischen Integrierens ist der Graph einer Funktion f, definiert auf einem Intervall [a; b]. In einem ersten Zugang kann für f eine proportionale Funktion gewählt werden, an deren Graphen sich die Schülerinnen und Schüler das grundlegende Vorgehen erarbeiten (s. Abb. 1a ). Ausgehend von (vorerst) festen Intervallgrenzen a und b soll der Flächeninhalt der Fläche bestimmt werden, die begrenzt wird durch a und b, der horizontalen Achse und dem Graphen der Funktion f (s. Abb. 1a). Zu Beginn wird dabei oftmals a = 0 festgelegt.
Für die erste Anbahnung der Flächeninhaltsfunktion bestimmen die Schülerinnen und Schüler nun den Flächeninhalt verschiedener Teilflächen: Statt b legt ein veränderbarer Wert x aus dem Intervall [a,b] die rechte Grenze der Fläche fest (s. Abb. 1b ). Für x sollten dabei nicht nur natürliche...
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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 218 / 2020

Transfer

Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 11-13