Frederik Dilling, Horst Struve

Funktionen zum Anfassen

Frederik Dilling, Horst Struve

Ein empirischer Zugang zur Analysis

Der schulische Analysisunterricht ist stark von Anschaulichkeit und Realitätsbezug geprägt (was durch den vermehrten Einsatz digitaler Medien noch verstärkt wird). Die Funktionsgraphen sind die zentralen Objekte des Argumentierens und Handelns der Lernenden (empirisch-gegenständliche Analysis, vgl. Witzke 2014, Burscheid/Struve 2010). Existenzfragen werden auf der Grundlage der Graphen beantwortet, während dem formal-algebraischen Kalkül die Aufgabe der Exaktifizierung zukommt.
Eine solche empirische Auffassung von Mathematik findet sich auch in der Entwicklung der Analysis durch Leibniz wieder und ist epistemologisch gerechtfertigt (Kasten 1). Als Konsequenz ergibt sich, Graphen als eigenständige Objekte des Analysisunterrichts zu betrachten.
Anschauungsobjekte im Analysisunterricht beschränken sich bisher meist auf realitätsnahe Kontexte oder graphische Darstellungen. Ein handlungsorientiertes Arbeiten mit gegenständlichen Modellen findet hier meist nicht statt. Im Folgenden soll am Beispiel von 3D-gedruckten Funktionsgraphen ausgeführt werden, welche Chancen aber auch Herausforderungen sich durch handlungsorientierte Zugänge zur Differentialrechnung ergeben (vgl. Dilling 2019).
1|WISSENSWERT: Der Leibnizsche calculus
1|WISSENSWERT: Der Leibnizsche calculus
Die Entwicklung der Differentialrechnung erfolgte Ende des 17. Jahrhunderts durch Gottfried Wilhelm Leibniz. Dieser hatte die Idee, zur Untersuchung von auf einem Zeichenblatt konstruierten Kurven infinitesimale, unendlich kleine Größen, einzuführen so genannte Differentiale. In der Leibnizschen Theorie war die Existenz von Extremstellen, Wendestellen und weiteren Eigenschaften durch die Konstruktion der Kurve gegeben („Das leuchtet, meine ich, jedem [] aufmerksam Betrachtenden ein.). Der Kalkül selbst wurde dann zur genauen Lokalisierung der Stellen verwendet. Damit hatte die Differentialrechnung in den Anfängen ihrer Entwicklung einen empirischen Charakter (vgl. Witzke 2009).
3D-gedruckte Funktionsgraphen
Das Programm „Graphendrucker ist ein auf dem skriptbasierten CAD-Programm OpenSCAD basierendes Computerprogramm1, mit dem sich auf einfache Weise dreidimensionale Repräsentationen von reellen Funktionsgraphen konstruieren lassen (vgl. Dilling 2019). Hierzu trägt der Benutzer eine beliebige Funktionsvorschrift sowie eine untere und obere Intervallgrenze im Eingabefeld ein (Abb. 1 ). Es entsteht ein 1mm dicker und 1cm aus der Ebene gehobener Funktionsgraph.
Darstellbar sind alle Funktionen, die sich aus elementaren Funktionen mit Hilfe der Grundrechenarten bilden lassen. Die Eingabe einer zweiten Funktion ermöglicht zudem die parallele Darstellung zweier verschiedener Funktionen. Das mit der Software erstellte virtuelle Modell lässt sich im Anschluss an die Konstruktion mit einem beliebigen 3D-Drucker in ein dreidimensionales Modell überführen.
Graphen abtastend erfahren
Auf diese Weise wird der Funktionsgraph zu einem physischen Objekt, welches taktil erfahrbar und damit qualitativ erfassbar wird. Im Unterricht können die Lernenden auf dieser Basis erste Vorstellungen zu zentralen Begriffen der Differentialrechnung entwickeln (vgl. Dilling u.a. 2019). Hierzu bietet der „embodied approach bei dem mathematische Sachverhalte durch Handlungen mit empirischen Objekten verkörpert werden interessante Anknüpfungspunkte (vgl. Tall 2013, S. 300f.). Dieser beginnt mit mentalen Handlungen an einem gezeichneten bzw. mentalen Graphen „which we can trace with our finger and see as an object („den wir mit dem Finger abfahren und als Objekt sehen können). Dieses Abfahren des Funktionsgraphen mit der Fingerspitze (Abb. 2a , ) kann mit den 3D-gedruckten Modellen tatsächlich durchgeführt werden.
Die Stetigkeit des Graphen wird dabei als „dynamic continuity („sich verändernde Stetigkeit) wahrgenommen. Das Abfahren des Modells mit dem ausgestreckten...
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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 217 / 2019

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Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-11