Gemeinsam an Funktionen arbeiten

A. Bikner-Ahsbahs/T. Janßen mit GeoGebra (geogebra.org)

Koordinierte Teamarbeit

Zwei beliebige Geraden (also Graphen linearer Funktionen) mit unterschiedlicher Steigung haben – irgendwo – einen Schnittpunkt. Und sie sind achsensymmetrisch zueinander. Dies kann für eine interessante, gemeinsame Erkundung genutzt werden.

So erhalten Karl und Gerda die Aufgabe, zu klären:

  • Wie hängen die beiden Graphen der linearen Funktionen in der vorgegebenen GeoGebra-App (hier) miteinander zusammen?

Gerda zieht den Schieberegler b nach rechts und Karl beobachtet, was geschieht. Beide Graphen bewegen sich zugleich. b zeigt an, wo auf der y- bzw. x-Achse die Graphen die jeweilige Achse schneiden: Der y-Achsenabschnitt des grünen Graphen bewegt sich nach oben, der x-Achsenabschnitt des roten Graphen nach rechts, die Abschnittswerte sind stets gleich, das fällt Karl und Gerda sofort auf.

Nun zieht Karl am Schieberegler a nach rechts. Wieder bewegen sich beide Graphen zugleich, sie drehen sich um die Achsenschnittpunkte, der grüne im Uhrzeigersinn um den Schnittpunkt mit der y-Achse, der rote entgegengesetzt um seinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Mit einem Klick wird die Winkelhalbierende w: y = x eingeblendet, und weitere Erkenntnisse sind möglich… besonders wenn man die Dreiecke einfügt, die sich für jede Gerade aus dem Koordinatenursprung, der Nullstelle und dem y-Achsenabschnitt ergeben (Lösung siehe unten).

Lineare Funktionen übend wiederholen

Wie kann man die achsensymmetrische Lage algebraisch erfassen? Gerda stellt einfache Werte für a und b ein. Die Funktionsgleichung für den grünen Graphen ist f(x)=2x+2, die für den roten Graphen g(x)= 1/2∙x –1 oder auch g(x) = (x–1) : 2. Das finden Gerda und Klaus schnell heraus. Sehen müssen sie noch, dass die Steigung der einen Geraden der Kehrwert der anderen ist. (Dies ist aufgrund der achsensymmetrischen Lage der Graphen zwar klar, aber eben nicht selbstverständlich.) Dies ist ein zentraler Schritt, der verallgemeinert werden muss und nicht so schnell auf die allgemeine Gleichung für lineare Funktionen übertragen werden kann.

Wie die Lernenden schon wissen, werden die x- und y-Koordinaten von Punkten auf einer der Geraden bei der Spiegelung an der ersten Winkelhalbieren w: y=x vertauscht. Gilt für den Funktionsgraphen von f die Gleichung y = mx + b, dann gilt auch (y b) : m = y bei von 0 verschiedenen Steigungen. Vertauschen wir x und y, ergibt dies die Gleichung von g, das heißt g(x) = 1/m xb/m.

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Koordiniert handeln – Achsensymmetrie erhalten

Diese Erfahrungen sind nun Grundlage für getrenntes, aber koordiniertes Handeln. Eine zweite Geogebra-Datei (s. Download am Ende dieses Beitrags oder hier) enthält zwei Geraden. Mit einem Kontrollkästchen kann man die Spiegelachse w anzeigen lassen. Gerda ist für die grüne Gerade zuständig, Karl für die rote. Gerda und Karl haben nun die Aufgabe, die Geraden zu transformieren und zugleich deren symmetrische Lage zu w: y = x zu erhalten.

Gerda ist zuerst dran. Sie setzt den Parameter a auf 3, b bleibt bei 2. Wie muss Karl die Parameter für g so ändern, dass die Spiegelsymmetrie der beiden Geraden bezüglich der ersten Winkelhalbierenden w erhalten bleibt? Die Steigung ist der Kehrwert von 3. Ist der Achsenabschnitt vielleicht –2/3? Karl ändert seine Parameter entsprechend. Die Überprüfung zeigt: Es stimmt, die Symmetrie zu w liegt vor. Nun werden die Rollen getauscht.

Die Erfahrung der beiden zeigt nach mehreren Wechseln: Die Achsensymmetrie zu w kann immer dann erhalten werden, wenn die zu koordinierende Handlung den Kehrwert der Steigung für den neuen Steigungswert verwendet und den Quotienten aus dem negativen y-Achsenabschnitt durch den Steigungswert für den neuen y-Achsenabschnitt.

Ideen zum Weiterarbeiten

Abschließend können die Transformationsformen variiert werden. Wie erhält man etwa die spiegelsymmetrische Lage der beiden Geraden zur Spiegelachse w, wenn man eine der Geraden um 1 nach links verschiebt oder um 2 nach oben? Wie, wenn man sie um den Ursprung dreht, etwa um 90°?

Übrigens: Alle Geradenpaare in der Ebene weisen eine spiegelsymmetrische Lage auf. Haben die Geradenpaare keinen Schnittpunkt, ist die Mittelparallele auch die Spiegelachse. Haben sie einen Schnittpunkt, dann gibt es zwei Symmetrieachsen: die Winkelhalbierenden der beiden Schnittwinkel. Eine nette Umkehraufgabe wäre, die Spiegelachse in speziellen Fällen zu finden und algebraisch darzustellen. Auch das ist „getrennt, aber koordiniert“ möglich: zwei Geraden werden von einer Person vorgegeben, die andere bestimmt die Spiegelachse, grafisch und algebraisch, und gemeinsam wird geprüft, ob das richtig ist und warum.

Downloads

Symmetrie_LineareFunktionen1.ggb

Symmetrie_LineareFunktionen2.ggb

Ach ja ... die Lösung

Alle Schnittpunkte der untersuchten Geradenpaare liegen auf dieser Symmetrieachse. Betrachtet man nun das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0) und den beiden Achsenschnittpunkten für jede der beiden Graphen, dann liegen die beiden Dreiecke spiegelsymmetrisch zu w. Dies können Gerda und Karl prüfen: Die Punkte A = (2,96,-0,82) und B = (-0,82,2,96) liegen auf den Geraden, sie sind Spiegelpunkte zur Achse w, denn spiegelt man etwa Punkt A mit dem GeoGebra-Werkzeug „Achsenspiegelung“ an w, dann landet der Spiegelpunkt genau auf Punkt B. Bei erneuter Exploration zeigt sich, dass A und B ihre Lage zwar verändern, aber Spiegelpunkte bleiben und dass ihre x- und y-Koordinaten stets vertauscht sind.

Unterrichtsideen zu linearen Funktionen

Der Steigungsbegriff ist gar nicht so abstrakt - dies zeigt ein Unterrichtsmodell mit Treppenstufen

Weitere Übungsideen zu linearen Funktionen finden Sie bei einem Neuen Blick auf Koordinatensysteme

Fakten zum Artikel
Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 7-11