Frederik Dilling, Horst Struve

Die Quadratrix

Frederik Dilling, Horst Struve

Die Elemente des Euklid begründeten im 3. Jahrhundert vor Christus den Ruf der Mathematik als exakte Wissenschaft. In diesem Werk wurde die Geometrie axiomatisch-deduktiv entwickelt und die Sätze der Theorie ohne Zuhilfenahme der Anschauung nur mit logischen Mitteln durch Zurückführung auf die Axiome bewiesen. Dieser Aufbau machte einen so großen Eindruck, dass bis heute eine Vielzahl von (mathematischen und auch nicht-mathematischen) Theorien „more geometrico aufgebaut wurden.
Die fünf Axiome des 1. Buchs der Elemente kann man als Beschreibung der Handhabung von Zirkel und Lineal ansehen. Konstruktionen mit diesen beiden Werkzeugen erschienen den Griechen in besonders hohem Maße exakt zu sein. Es gab aber auch Probleme, deren Lösung nicht gelang, wie etwa das berühmte Problem der Quadratur eines Kreises:
Konstruiere allein mit Zirkel und Lineal ein Quadrat, welches denselben Flächeninhalt besitzt wie ein Kreis.
Wie man heute weiß, scheiterten die damaligen Mathematiker nicht an mangelnden geometrischen Kenntnissen. Vielmehr ist das Problem nur mit Hilfe der Konstruktionswerkzeuge Zirkel und Lineal tatsächlich unlösbar. Noch heute bezeichnet der Ausdruck „Quadratur des Kreises sprichwörtlich eine unlösbare Aufgabe.
Eine antike Kurve zur Quadratur eines Kreises
Schon in der Antike wurde eine kinematisch erzeugbare Kurve entdeckt, mit deren Hilfe man einen Kreis quadrieren kann: die sogenannte Quadratrix. Die Entstehung dieser Kurve beruht auf zwei gleichzeitig ablaufenden Bewegungen:
Konstruktion der Quadratrix
In einem Quadrat ABCD bewegt sich die obere Seite DC mit konstanter Geschwindigkeit parallel zur Ausgangslage zur unteren Seite AB hin. In der gleichen Zeit dreht sich die linke Quadratseite AD um den linken unteren Eckpunkt A des Quadrates mit konstanter Winkelgeschwindigkeit im Uhrzeigersinn, bis auch AD auf AB zu liegen kommt. Der Punkt D beschreibt dabei den Viertelkreis DEB. Die beiden Bewegungen, die Translation und die Drehung, mögen zum gleichen Zeitpunkt beginnen und enden. Der Schnittpunkt S der bewegten Strecken DC und AD beschreibt eine „mechanische Kurve, die Quadratrix.
Von der Kurve zur Strecke der Länge 2π
Bezeichnet man den Drehwinkel ∡DAE mit α so ist AS = FAcosα Aus der Konstruktionsvorschrift der Quadratrix folgt die Proportionalität
AF : AD = ∡EAB : ∡DAB.
Misst man Winkel im Bogenmaß und geht von einem Quadrat mit der Seitenlänge DA = 1 aus, so gilt
AF = (π2 α) : π2.
Wegen cos α = sin (π2– α) folgt
AS = [(π2 α) / sin (π2– α)] 2π.
Weil der Grenzwert von sin(x)xfür x gegen 0 gleich 1 ist, strebt der erste Faktor der rechten Seite für α gegen π2gegen 1. Daher schneidet die Quadratrix die Seite AB des Quadrates in einem Punkt Q, der von A den Abstand 2
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aus: Mathematik lehren Nr. 217 / 2019

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Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 9-12