Dorothee Göckel

Bärchenpopulation

Arbeitsblatt zum Bärchenwachstum
Arbeitsblatt zum Bärchenwachstum, © Friedrich Verlag

Dorothee Göckel

Exponentielles Wachstum schätzen

In einer Doppelstunde am Nachmittag sind die Schülerinnen und Schüler nur schwer zu motivieren, in ein neues Thema einzusteigen. Das kollektive Stöhnen verwandelt sich in Neugier, als ich ohne weiteren Kommentar das Arbeitsblatt Gummibärchenpopulation verteile (Abb. 1 , KV17 ). Schnell sind die Tütchen inspiziert und die Bärchen gezählt. Es sind 9 oder 10 in einer Tüte. Doch was bedeutet nun „Wachstumsrate von 50 %? Es wird rege miteinander diskutiert. Lukas erklärt: „Wenn 50 % Wachstumsrate heißt, dass pro Nacht die Hälfte der Anzahl an Bärchen in der Tüte dazukommt, dann können wir jetzt schätzen.
Raten oder schätzen?
Lea hat sich schnell entschieden: „Also ich schätze mal, dass das ungefähr zehn Tage dauert, bis es zehnmal so viele Bärchen sind. Markus protestiert: „Nein, das muss schneller gehen, denn in einer Nacht kommen doch schon 5 dazu, wenn in der zweiten auch noch einmal 5 dazukommen (das kann man dann besser rechnen als mit der Hälfte von 15), sind es 20, dann kommt wieder die Hälfte dazu, dann sind es nach der dritten Nacht schon 30 und dann 45 nach der vierten Nacht, dann über 60 nach der fünften Nacht und ca. 90 nach der sechsten Nacht. Nach der siebten Nacht sind es also weit mehr als das Zehnfache.
Nicht alle können Lukas Gedanken im Kopf folgen. Lea gibt zu, dass sie die zehn Tage mehr geraten als geschätzt hat. Lukas hätte ja schon ganz viel gerechnet, bevor er auf eine Schätzung gekommen wäre.
Wir einigen uns darauf, dass alle versuchen, die genannten Rechenschritte aufzuschreiben, um Leas und Lukas Schätzungen zu kontrollieren. Doch zuvor soll jeder noch eine Schätzung für die Fragen 2 und 3 abgeben, möglichst ohne viel zu rechnen.
Gut geschätzt ist halb gerechnet
Nun ist eindeutig im Vorteil, wer seine Rechenschritte übersichtlich aufschreiben kann, wie zum Beispiel Mirco (Abb. 2 ). Er hat schnell berechnet, dass Lukas Einwand berechtigt ist. Als er mich bittet, seine Rechnung zu kontrollieren, kritisiert er: „Man kann solch ein Wachstum gar nicht schätzen. Wir haben gar keine Vergleichsgröße. Oder man müsste eine Formel haben, mit der man das durch ungefähres Rechnen abschätzen kann. Da Mirco gerne Probleme löst, bekommt er den Auftrag, solch eine Formel zu entwickeln.
Unter den anderen haben sich schnell Zweiergruppen gebildet, um sich auszutauschen und die Ergebnisse zu kontrollieren. Die meisten sind sich einig, dass sie nur raten können, wie viele Bärchen es nach 14 Nächten gibt. Wenn Lukas recht hat, dass schon nach sieben Nächten 100 Bärchen vorhanden sind, dann könnte bei doppelt so vielen Nächten auch gut das Hundertfache herauskommen, also 1000 Bärchen. Karin schätzt sogar mutig 2000 Bärchen und ist dann mehr als erstaunt, als ihre gerechnete Abschätzung über 3000 liegt (Abb. 3 ).
Problem erkannt
In den Partnerdiskussionen macht sich Unmut breit. Karin fragt, was denn in einem Monat wäre. Also wenn man die Zeitspanne noch einmal verdoppelt, ob dann eventuell 30 000 Bärchen vorhanden sind? Keiner hat Lust, den langen Rechenweg aufzuschreiben, aber das Ergebnis möchten schon alle wissen. Melanie ist frustriert: „Wenn ich wissen will, was nach 17 Nächten ist, dann muss ich vorher ausgerechnet haben, was nach 16 Nächten war. Geht das nicht anders, so wie bei den linearen Funktionen? Da kann man schnell durch eine Überschlagsrechnung einen Wert abschätzen.
Mirco lächelt und verkündet: „Ich glaube, ich habe es herausgefunden. Wir multiplizieren von Nacht zu Nacht mit dem Faktor 1,5. Also heißt unsere Funktionsgleichung f(x) = 10 . 1,5x.
Nun kommt der GTR zum Einsatz. Das Ergebnis ruft großes Erstaunen hervor. Nun kennen alle den exakten Rechenweg. Die Schätzung wird aber kaum einfacher, denn wer kann schon die Potenzen von 1,5 ohne Hilfsmittel berechnen?
Was bringts?
Das ausgewählte Material motiviert auch Leistungsschwächere, sich mit den gestellten Fragen intensiv...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik 5-10 Nr. 52 / 2020

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