Anselm Lambert

Analysis – erst mal geometrisch

Anselm Lambert

Änderungen differenzieren und integrieren zunächst in Geschwindigkeit-Zeit-Graphen

„Die Formel muss etwas bedeuten, erst dann könnt ihr sinnvoll damit rechnen. das sage ich meinen Schülerinnen und Schülern immer, auch noch in der Oberstufe. Die Aussage „Die Ableitung von x2 ist 2x. ist gewiss eine hilfreiche Rechenregel doch für ein mathematisches Verständnis von Ableitung nicht genug. Mit der Formel (x2)' = 2x stehen zwei für Mathematik typische Fragen im Raum: Die innermathematische nach dem Warum, und die anwendungsorientierte nach der inhaltlichen Bedeutung der Ableitung: Wofür steht eigentlich 2t, wenn t2 die Geschwindigkeit v(t) in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt?
Derartigen Fragen gehe ich im Unterricht nach, bevor ich den Kalkül nutze. Durch die Einkleidung in eine konkrete Situation stehen anschauliche Ankerpunkte für die Entwicklung mathematischer Begriffe wie Änderungsrate oder Steigung zur Verfügung.
Bewährt hat sich zum Einstieg das Größenpaar Geschwindigkeit/Beschleunigung, da die Geschwindigkeit eine Änderungsfunktion ist und so einen Kontext liefert, der auch ein inhaltlich sinnvolles Integrieren ermöglicht. So können Ableitung und Integration in einer gemeinsamen Aufgabenstellung untersucht werden.
Geschwindigkeit-Zeit-Graphen lesen lernen
Bei folgender Aufgabe zum Einstieg wurde der Graph bewusst auf eine innermathematische Darstellung reduziert. So müssen die Lernenden zunächst den Graphen in Beziehung zum Text setzen Teilaufgabe a).
  • E-Bike Teil 1: Angenommen, der folgende Funktionsgraph beschreibe die Geschwindigkeit eines E-Bikes in Abhängigkeit von der Zeit. Im Schaubild ist dargestellt, dass das E-Bike zum Start der Messung die Geschwindigkeit 5km/h hat und am Ende nach einer Minute die Geschwindigkeit 25km/h. a) Tragen Sie die entsprechenden Größen und Punkte ins Schaubild ein.b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Geschwindigkeit-Zeit-Graphen die mittlere Beschleunigung.c) Bestimmen Sie nun die maximale und die minimale Beschleunigung des E-Bikes in diesem Zeitraum.d) Könnte der Graph „echt sein? Wie könnte er weiter verlaufen?
Um Teilaufgabe b) beantworten zu können, müssen sich die Schülerinnen und Schüler Gedanken machen um die verwendete Begrifflichkeit „mittlere Beschleunigung, also die mittlere Änderung der Geschwindigkeit. Wo soll man aber danach suchen? Wie mittelt man über das Ganze?
Da bereits Start- und Endpunkt der Messung eingezeichnet sind, ist es einigen Schülerinnen und Schülern recht schnell möglich, die interessierenden Differenzen selbstständig in den Blick zu nehmen. Anderen hilft meist der Hinweis weiter, Start- und Endpunkt durch eine Strecke zu verbinden, um ihre Aufmerksamkeit auf diese Punkte zu lenken (und diese Strecke wird später auch noch inhaltlich relevant sein).
Argumentiert wird zu diesem Zeitpunkt von den meisten Schülerinnen und Schülern im Wesentlichen inhaltlich: Im Laufe der in der Messung betrachteten Minute beschleunigt das E-Bike insgesamt von 5km/h auf 25km/h, also um 20km/h. Die Geschwindigkeitsänderung beträgt also im Ganzen 20km/h pro min.
in der Differenzialrechnung
Nun ist es an der Zeit, diese Zusammenhänge auch im Graphen zu suchen und dort zu veranschaulichen. Die aus der Situation gewonnenen Erkenntnisse lassen sich im mathematischen Modell wiederfinden: Die Funktion beginnt beim Wert 5 an der Stelle 0 und endet beim Wert 25 an der Stelle 1.
Die Strecke zwischen den Punkten und ihre Komponenten im Steigungsdreieck beschreiben diese Änderung geometrisch: Die mittlere Änderungsrate beträgt hier
$$\frac{f\left (1\right )\mathrm{–}f\left (0\right )}{1\mathrm{–}0}=\frac{25\mathrm{–}5}{1\mathrm{–}0}=20$$Die Diskussionen beginnen, und die Erkenntnis setzt sich durch: Die Steigung im Steigungsdreieck beschreibt also die Größe der relativen Änderung der Geschwindigkeit. Mit dieser Einsicht lässt sich nun die Teilaufgabe c) angehen. Die Schülerinnen und...

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aus: Mathematik lehren Nr. 200 / 2017

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