Alexander Salle, Daniel Frohn

Alternative Sinus- und Kosinusfunktionen

Alexander Salle, Daniel Frohn

Transferprozesse am Einheitskreis

„Eine der merkwürdigsten Schwächen unseres Geistes besteht darin, dass wir Gegenstände, selbst wenn sie sonnenklar vor uns liegen, nur dann beurteilen können, wenn wir einen anderen Gegenstand daneben legen. Alexis de Tocqueville (zitiert nach Bettini 2018).
Die trigonometrischen Funktionen sind das Herzstück der schulischen Behandlung periodischer Prozesse. Grundlegend für die Definition der Sinus- und Kosinusfunktionen ist der Einheitskreis als definierende Figur. Aus den Eigenschaften des Einheitskreises ergeben sich entsprechende Eigenschaften der Funktionen wie Symmetrien, Periodenlänge, Lage und Form der Graphen sowie das proportionale Verhältnis von Gradmaß und Bogenmaß.
Im vorliegenden Konzept wird die Herkunft dieser Eigenschaften und deren feste Bindung an die Form des Einheitskreises dadurch verdeutlicht, dass periodische Funktionen definiert werden, die durch die Bewegung eines Punktes auf einer alternativen definierenden Figur entstehen. So werden im Sinne de Tocquevilles „Gegenstände geschaffen, die die Beurteilung und tiefere Durchdringung der trigonometrischen Funktionen unterstützen.
Die Erkundung der neuen Funktionen und die Entdeckung der jeweiligen Eigenschaften ermöglichen reichhaltiges mathematisches Arbeiten und geben Anlass zu einer Vielzahl von Transferprozessen, bei denen zum einen vorhandene Kompetenzen und Kenntnisse zu den bekannten trigonometrischen Funktionen generalisiert werden, zum anderen durch die Aneignung von Wissen und Fähigkeiten an den alternativen trigonometrischen Funktionen ein tieferes Verständnis von Sinus und Kosinus am Einheitskreis herausgebildet wird.
Alternative Sinus- und Kosinusfunktionen
sin und cos sind reelle Funktionen, deren Werte sin(x) und cos(x) definiert werden durch die Koordinaten eines Punktes Q auf dem Einheitskreis, der mit der ersten Achse im mathematisch positiven Drehsinn einen Kreisbogen der Länge x einschließt. Dabei ist cos(x) die erste und sin(x) die zweite Koordinate des Punktes Q (s. Abb. 1 ).
In der Variation wird nun der Einheitskreis durch zwei verschiedene „Einheitsquadrate ersetzt, die die gleichen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen aufweisen und ebenfalls spiegelsymmetrisch zu den Koordinatenachsen sind: Ein Quadrat mit Seitenlänge 2und eines mit der Seitenlänge 2 (s. Abb. 2).1
Die unabhängige Größe bei den alternativen trigonometrischen Funktionen ist eine Verallgemeinerung des Bogenmaßes, die wir Berandungslänge nennen. Sei Q ein Punkt auf einem der Quadrate. Dann ist die Berandungslänge zum Punkt Q definiert als die Länge des von den Punkten (1|0) und Q eingeschlossenen Streckenzuges (s. die mit x gekennzeichneten Streckenzüge in Abb. 2 ). Dabei wird das Quadrat im mathematisch positiven Drehsinn (evtl. auch mehrmals) durchlaufen, sodass es sowohl beliebige positive als auch negative reelle Berandungslängen geben kann. Für den Einheitskreis entspricht die Berandungslänge somit dem herkömmlichen Bogenmaß, welches ja proportional zum zugehörigen Winkel ist. Bei den betrachteten Einheitsquadraten löst sich dagegen die Berandungslänge vom Winkelbegriff, da hier keine proportionale Beziehung zwischen Berandungslänge und Winkelmaß besteht.
Während bei den üblichen trigonometrischen Funktionen in der unterrichtlichen Behandlung oftmals mit dem Gradmaß weitergearbeitet wird, ist es bei der Arbeit mit den alternativen trigonometrischen Funktionen zur Analogiebildung sehr ratsam, das Bogenmaß bzw. die Berandungslänge zu verwenden.
Analog zum Einheitskreis sollten nun die Werte der alternativen trigonometrischen Funktionen als erste Koordinate (Kosinus) bzw. zweite Koordinate (Sinus) des Punktes Q gewählt werden. Dabei benennen wir die Funktionen, die vom Quadrat mit Seitenlänge

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aus: Mathematik lehren Nr. 218 / 2020

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