Funktionen analysieren

Funktionen analysieren

Mathematik lehren | Ausgabe Nr. 187/2014

Verschiedene Aspekte von Funktionen kennen und Funktionen analysieren können – diese Fähigkeiten brauchen Schülerinnen und Schüler, um mit Funktionen (innermathematisch) argumentieren und (außermathematisch) modellieren zu können.

Inhaltsverzeichnis
Typische Fehlermuster im funktionalen Denken Schülerfehler verstehen
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 5-13

Der Artikel informiert über typische Fehlermuster, die im Umgang mit Darstellungswechseln funktionaler Zusammenhänge auftreten (z.B. der sogenannte Graph-als-Bild-Fehler). Dabei werden lineare und quadratische Funktionen fokussiert. Es wird ein Diagnosetool vorgestellt, das diese typischen Fehlermuster erfassbar macht und der Lehrkraft eine Rückmeldung über die in ihrer Klasse gehäuft auftretenden Fehlermuster gibt.

Passende Modelle finden – durch Linearisierung Von Daten zur Funktion
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-10

Viele Modellbildungsaufgaben führen im Kern auf das Problem, eine Funktion zu finden, deren Graph zu erhobenen Daten passt. Nur lineare Zusammenhänge können wir relativ gut „per Augenmaß“ und deutlich besser mit Hilfe eines Lineals überprüfen. Um auch in anderen Situationen (Wasserstrahl, Schaumzerfall, elektrischer Widerstand) passende Modelle zu finden und ihre Passung zu überprüfen, hilft die Methode der Linearisierung durch Koordinatentranformation.

Quadratische Funktionen dynamisch untersuchen
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 9-10

Anstelle der algebraischen Herleitung p-q-Formel wird in dem hier vorgestellten Unterrichtsgang geometrisch eine Formel in Zusammenhang mit dem Scheitelpunkt hergeleitet. Dann wird das Verhalten des Scheitelpunktes dynamisch untersucht und schließlich erhält man daraus zusammen die bekannte p-q-Formel. Der Artikel enthält Anleitungen zur Konstruktion entsprechender dynamischer Arbeitsblätter mit einem DGS (z.B. GeoGebra).

Kurven durch Kreise und Geraden annähern Nicht so schnell in die Kurve!
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 10-13

Eine Verallgemeinerung der Frage,wie Geschwindigkeitsgrenzen festgelegt werden, führt zur Approximation von Funktionsgraphen durch Strecken und Kreisteile (und später zu Ableitung und Krümmung). Doch ist das Konstruieren einer Straße aus Strecken und Kreisstücken wirklich eine gute Idee? Im Experiment mit einer Spielzeugbahn wird anschaulich die Problematik des Krümmungsrucks entdeckt. Wenngleich Krümmung üblicherweise ein schwieriges Thema der Analysis ist, werden hier doch nur Kenntnisse aus der Sek I benötigt.

Neues aus dem Funktionenlabor
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-13

Noch vor der Erarbeitung des Ableitungskalküls werden in diesem Unterricht wesentliche Kenntnisse über Kurvenverläufe und signifikante Punkte von Graphen vermittelt. Die Lernenden bauen aus „Funktionsbausteinen“, d. h. Variablen, Parameter und Exponenten oder Linearfaktoren nacheinander Funktionsterme, deren Graphen sie plotten und systematisch untersuchen. Der Vorteil

der Linearfaktordarstellung einer ganzrationalen Funktion wird dabei deutlich.

Foto: Pixabay/Hebi B.
Mit dem Funktionenmikroskop zum Ableitungsbegriff Hineingezoomt …
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 10-13

Im Artikel wird eine computerunterstützte Einführung des Ableitungsbegriffes vorgestellt, die den Aspekt der lokalen Linearität in den Vordergrund rückt. Die beigefügten Arbeitsblätter ermöglichen ein schülerzentriertes Vorgehen. Dabei werden von Beginn an differenzierbare und nicht differenzierbare Funktionen betrachtet, Werte der Ableitung numerisch approximiert und der Grenzwertbegriff auf visueller Ebene in propädeutischer Weise vorbereitet.

Ein neuer Vorschlag zur visuellen Vermittlung einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff Die digitale Funktionenlupe
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 11-12

In einem speziellen Funktionenplotter mit zwei Fenstern, der Funktionenlupe, werden Funktionsgraphen lokal auf ihre Steigung untersucht. In dem einen Fenster sieht man den Funktionsgraphen, im anderen Fenster wird ein immer kleinerer Ausschnitt des Graphen vergrößert dargestellt. Zudem kann mit dem Spurmodus bzw. der Ortslinienfunktion die Ableitungsfunktion graphisch ermittelt werden.

Foto: Pixabay/Karolina Grabowska
Funktionen vergleichen und das Wachstum erforschen Was ist größer?
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 11-13

Manchmal sind es einfache Fragen wie: „Was ist größer?“ oder „Welcher Graph verläuft über dem anderen?“ , über die man zu herausfordernden Problemen kommt. Der rechnergestützte Zugang ist schnell und direkt: Die Schüler berechnen Werte, plotten Funktionsgraphen, betrachten Abschnitte, untersuchen bestimmte Eigenschaften. Sie gelangen experimentell-forschend zu neuen Erkenntnissen und erarbeiten einen konzentrierten Blick auf die wesentliche Situation.

Foto: Pixabay/Karolina Grabowska
Ein System für Anwendungssituationen der Analysis Die Funktionenrolle
Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 10-12

Die Interpretation einer Funktion in einem Sachkontext ist abhängig davon, ob die Funktion einen Bestand oder eine Änderungsrate beschreibt. Um die Frage „Wie schnell ist Peter nach 3 Minuten?“
auf Grundlage einer gegebenen Funktion f beantworten zu können, muss man wissen, ob f die Beschleunigung, die Geschwindigkeit oder den Weg beschreibt, da man entweder einen Integralwert, einen Funktionswert oder einen Wert der Ableitung bestimmen muss. Eine gegeneinander drehbare Tabelle verschafft Übersicht.

Funktionen in Abschlussprüfungen: Wie funktioniert das?
Abitur & Prüfung Schuljahr 1-13

Im Artikel wird die Bedeutung der Leitidee Funktionaler Zusammenhang in den Aufgaben zentral gestellter schriftlicher Prüfungen zum Erwerb des Mittleren Schulabschlusses betrachtet. Am Beispiel dieser Leitidee werden Unterschiede zwischen Aufgaben verschiedener Bundesländer aufgezeigt, die prozessbezogene und kognitive Merkmale betreffen. Ausgewählte Prüfungsaufgaben können Anregungen für eine Weiterentwicklung der Aufgabenkultur im eigenen Bundesland bieten – nicht nur in Prüfungen.

Foto: Pixabay/Hebi B.
Funktionen haben viele Gesichter – auch deins! Ideenkiste
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-13

Eine Webcam nimmt in schneller Folge ein Bild auf (z.B. 25 mal pro Sekunde) – es entsteht ein Bildstrom. An diesem Bildstrom lassen sich nun Veränderungen vornehmen und zum Beispiel Zeitlupen, Rückwärtslaufen oder Verzögerungen erzeugen. Schülerinnen und Schüler kennen solche Effekte und können sie umgangssprachlich beschreiben. Um diese Effekte selbst gestalten zu können, muss man sie formal beschreiben. Der Bildstrom einer Webcam wird dazu als eine Funktion gedeutet und manipuliert.

Foto: Pixabay/Karolina Grabowska
Funktionen unter der Lupe Mathe Welt
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-11

Funktionen werden auf drei Wegen mit GeoGebra erkundet: Der Graphenplotter erzeugt über die Ortslinenfunktion Funktionsgraphen ganz ohne Terme – Parabeln und die Wurzelfunktion, die Sinuskurve und Ellipsen werden entdeckt. Bei einem Funktionenplotter tippt man den Term ein und bekommt den Graphen gezeichnet – damit werden Verkettungen untersucht und Parabeln an Springbrunnenfotos angepasst. Mit der Funktionenlupe werden Graphen in zwei Fenstern lokal auf ihre Steigung untersucht.