Das hängt ganz davon ab!

Das hängt ganz davon ab!

Mathematik 5-10 | Ausgabe Nr. 49/2019

In diesem Heft werden ganz unterschiedliche Ideen beschrieben, wie durch verschiedene Zugänge der Verständnisaufbau für Funktionen bei den Lernenden unterstützt werden kann. Auf diesem Weg können eventuell mehr Schülerinnen und Schüler die Bedeutung und die Möglichkeiten von Funktionen erkennen und die Aussage von Freudenthal zur Mathematik teilen: „Der wahre mathematische Reichtum wird durch die Perspektive der Funktion geschaffen.“

Inhaltsverzeichnis
© Friedrich Verlag
Verschiedene Darstellungsformen symbolisch dargestellt
Zum Thema Zusammenhänge erkennen und verschieden darstellen
Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-10

Funktionales Denken beginnt nicht erst mit der Einführung des Funktionsterms, sondern schon in der Grundschule mit dem Erkennen, Analysieren, Beschreiben und Begründen von Mustern und Zusammenhängen. Dabei werden Beziehungen zwischen Objekten entdeckt und beschrieben. Darauf aufbauend und unter durchgängiger Nutzung verschiedener Darstellungsformen von Funktionen anhand verschiedener Beispiele kann der Begriff der Funktion als produktiv erlebt werden und zu einem funktionalen Verständnis entscheidend beitragen. Wenn die Lernenden immer wieder selbst funktionale Zusammenhänge entdecken und beschreiben und auf verschiedene Weise darstellen, wird eine tragfähige Grundlage für die Entwicklung des Funktionsbegriffs gelegt. Dabei werden nach und nach formalere Darstellungen entwickelt. Zuordnungen und Funktionen werden beschrieben und dargestellt. Dabei ist es wichtig, immer wieder Verbindungen zwischen allen Darstellungen zu schaffen. Bei jedem Praxisartikel in diesem Heft wird deshalb mit einem Bild symbolisiert, welche Aspekte des Darstellungswechsels hier besonders angesprochen werden

© Christine Kamp, Britta Kuhn-Schmidt
Kind entdeckt anhand einer Grafik den Zusammenhang zwischen Körperhöhe und Schattenlänge
Entdecken von Abhängigkeiten bei der Schattenlänge Mein Schatten und ich
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 5-6

Die Schülerinnen und Schüler messen gegenseitig ihre Körpergrößen sowie ihre Schattenlängen und schreiben ihre Messergebnisse auf.
Anschließend malen sie mit Kreide ein großes Diagramm auf den Schulhof mit Körpergrößen auf der x-Achse und Schattenlängen auf der y-Achse.
„Kleine Personen haben kleine Schatten.“, stellen sie fest.
In einem zweiten Schritt untersuchen die Lernenden die Abhängigkeit der Schattenlänge von der Tageszeit.

© Peter Hermes Furian/stock.adobe.com
Mann im Kreis
Lernende untersuchen eine „je/desto – Beziehung“ Große Leute – lange Arme?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 5-6

In einer 6. Klasse erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang zwischen Körperlänge und (Unter-)Armlänge experimentell.
Nach dem Messen der besagten Längen werden die Daten mithilfe von Excel einmal nach „Körperlänge“ und einmal „Armlänge“ sortiert. Diese Sortierungen sollen den Lernenden helfen, über die tabellarische Reihenfolge im Abgleich mit der „gleichen“ oder „leicht veränderten“ Reihenfolge der Namen, die Vermutungen zu überprüfen.
Gleichzeitig werden die Messungen automatisch grafisch dargestellt. 
Mithilfe dieser beiden Darstellungsformen (tabellarisch und grafisch) wird nun gemeinsam das Ergebnis mit den aufgestellten Vermutungen (Große Leute - lange Arme?) verglichen.

© Dorothee Göckel
Modellhaus und Modellzimmer in verschiedenen Maßstäben
Den Maßstab entdecken und mit ihm umgehen Modellzimmer erforschen
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 5-6

Die Schülerinnen und Schüler werden zu „Innenarchitekten“, indem sie in Partnerarbeit Modellzimmer im Maßstab 1 : 20 untersuchen und maßstabsgerecht ausstatten und einrichten. Dabei erstellen sie u.a. ein Maßstabslineal, das die Zuordnung zwischen realer Länge und Länge im Modell abbildet.
Die Aufgabenstellungen während der Erforschung und Ausgestaltung der Modellzimmer bieten viele Anlässe, sowohl vom verkleinerten Modell in die Wirklichkeit als auch umgekehrt zu schließen und zu rechnen.

© Irmgard Eckelt
Kinder laufen und messen dabei ihren Puls
Die Lernenden laufen, messen, zeichnen und reflektieren Ausdauertraining
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 5-6

Der Artikel beschreibt die Idee, ein Ausdauerprojekt ins Leben zu rufen, bei dem über einen längeren Zeitraum die Herzfrequenz in Abhängigkeit von der Trainingszeit und der

Lauflänge gemessen wird. Die Lernenden laufen immer wieder, über mehrere Wochen, und messen dabei ihre Pulsfrequenz. Im Mathematikunterricht werden die Daten dann grafisch dargestellt. Die wesentliche Erkenntnis für die Lernenden: Die Länge der Laufstrecke ist ein Maß für die Belastung des Körpers, je besser der Körper an diese Belastung

angepasst ist, desto niedriger ist die Herzfrequenz.

© Sieglinde Waasmaier
Rechtecke gleicher Fläche werden übereinander gezeichnet.
Umgekehrte Proportionalität an flächengleichen Rechtecken Je breiter, desto kürzer!
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-8

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen, welche Möglichkeiten es gibt, ein Rechteck darzustellen, das den Flächeninhalt 36 cm² hat. Schrittweise werden die verschiedenen Darstellungsformen von den Lernenden eingebracht, sodass durch eine einzige Unterrichtseinheit die verschiedenen Darstellungsformen der umgekehrten Proportionalität an einem bekannten mathematischen Phänomen ausgehend vom Vorwissen eigenständig erarbeitet und anschaulich dargestellt werden können.

© Diana Schütte-Seitz
Die vorgegebenen Punkte werden mithilfe einer Schnur verbunden.
Zusammenhänge entdecken, beschreiben und variieren „We are family!“
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 7-8

Thema der Unterrichtseinheit ist das Erkennen und Beschreiben von funktionalen Zusammenhängen. Dazu erhalten die Lernenden Punktkoordinaten, die sie in einem großen Koordinatensystem auf dem Schulhof darstellen. Sie sollen die Zusammenhänge zwischen den Punkten erkennen und beschreiben und untersuchen, was passiert, wenn einzelne Koordinaten verändert werden.
Durch das immer wieder in wechselnden Konstellationen erforderliche Verbalisieren setzen sich die Schülerinnen und Schüler dabei intensiv mit funktionalen Zusammenhängen in Verbindung mit Parametern auseinandergesetzt.

© Helga Rasch
Viele Reißnägel werden geworfen, manche landen auf dem Kopf, andere nicht
Mit Reißnägeln einen exponentiellen Zerfall simulieren Immer weniger
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 7-8

Beim ersten Wurf werden 100 Reißnägel geworfen. Es wird gezählt, wie viele Reißnägel auf dem Kopf liegen. 
Die Reißnägel, die auf die Seite gefallen sind, kommen zurück in die Schachtel. 
Nun werden die noch verbliebenen Nägel geworfen und wieder diejenigen gezählt, die auf den Kopf gefallen sind.
Auf diese Weise wird fortgefahren, bis der letzte Nagel auf dem Kopf liegt.
Die Lernenden untersuchen experimentell den Verlauf der Anzahl der Reißnägel auf dem Kopf und stellen die Ergebnis tabellarisch und grafisch dar.

© mavoimages/stock.adobe.com
Jogger steht vor Treppe
Steigungen bei linearen Funktionen erkennen und beschreiben Treppenstufen
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-8

Ob eine Treppe besonders steil ansteigt oder nicht, wird sehr unterschiedlich empfunden.
Jedoch ist der Begriff der Steigung im Zusammenhang mit Treppenstufen den Schülerinnen und Schülern in der Regel nicht unbekannt. 
Bei der Darstellung linearer Funktionen und später der Änderungsraten von funktionalen Zusammenhängen haben die Lernenden aber leider doch oftmals Schwierigkeiten, mit dem Begriff der Steigung umzugehen, er wird als sehr abstrakt wahrgenommen.
Um den Schülerinnen und Schülern einen anschaulichen Zugang zu bieten, wird die Erarbeitung des Begriffes „Steigung“ zunächst mit der Untersuchung von Treppenstufen begonnen. Hierbei soll der Begriff der Steigung im funktionalen Kontext mit dem aus der Lebenswelt der Lernenden bekannten Begriff der Steigung von Treppen verknüpft werden.

© Friedrich Verlag
Ein Auto fährt eine gebogene Schiene abwärts. Wie wird es danach fallen?
Mit dem iPad quadratische Funktionen entdecken Wie fliegt das Auto?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 9-10

Die im Artikel beschriebene Einführung quadratischer Funktionen mit Videoanalyse hat gezeigt, dass die Arbeit mit der Technik organisatorisch zwar aufwändig ist, für die Lernenden und Lehrkräfte jedoch eine gute Alternative zur traditionellen Einführung darstellt. Die Lernenden setzen sich intensiver mit dem Lerngegenstand auseinander, erfahren einen medialen Bezug des mathematischen Themas und lernen einen für sie neuen Funktionstyp und dessen allgemeine Gleichung kennen.

© Friedrich Verlag/CC-BY-PL RLP Sinus Projekt
Auf das Foto einer Wasserstrahlparabel wird ein Koordinatensystem gezeichnet.
Modellieren mit quadratischen Funktionen Wasser marsch!
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 9-10

In diesem Artikel wird eine Unterrichtsstunde vorgestellt, die die Schülerschwierigkeit der Lernenden aufgreift, Phänomene aus dem Alltag (z. B. den Verlauf von Wasserstrahlen bei Springbrunnen) konkret mathematisch zu beschreiben. Ziel der Stunde ist es, dass die Schülerinnen und Schüler selbst erkennen, dass sie eine Alltagssituation (hier Wasserstrahl) unterschiedlich – aber mathematisch korrekt – beschreiben können, weil sie zum Beispiel eine andere Lage des Koordinatensystems oder einen anderen Maßstab verwenden.

© Dirk Tönnies
Die y-Koordinate eines Punktes bewegt sich x-Achse.
Quadratische Funktionen in ungewöhnlicher Darstellung Wie bewegt sich der 2. Punkt?
Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 9-10

In diesem Artikel untersuchen die Lernenden quadratische Funktionen, die sehr ungewöhnlich dargestellt sind: Die y-Achse wurde gedreht und parallel unter die

x-Achse gelegt. Anhand des Verlaufes des 2. Punktes (y-Wert) sollen die Schülerinnen und Schüler die Funktionsgleichung der dargestellten Funktion ermitteln.

Durch die Beschäftigung mit den Wertepaaren haben die Lernenden einen anderen Zugang zu den Funktionen und den Funktionsgraphen.

 

© Michaela Lichti
Füllgraph
Fortbildung Funktionales Denken fördern
Friedrich+ Kennzeichnung Methode & Didaktik Schuljahr 5-10

Funktionales Denken ist grundlegend dafür, dass Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht erfolgreich mit jeder Art von funktionalen Zusammenhängen arbeiten können. Die hier beschriebene Untersuchung setzt sich daher mit der Frage auseinander, wie eine umfassende Förderung des Funktionalen Denkens gestaltet sein sollte und ob bzw. auf welche Weise die Verwendung von Computer-Simulationen und gegenständlichen Materialien hierzu beitragen kann.