Bestand und Änderung

Bestand und Änderung

Mathematik lehren | Ausgabe Nr. 199/2016

Im Alltag und auch in der Mathematik sind Bestand und Änderung bekannte und bewährte Konzepte. Dennoch werden sie oft falsch verwendet und viele Menschen verwechseln diese Begriffe, wenn konkrete Einschätzungen und Interpretationen notwendig sind. So sprechen Politiker von abnehmender Staatsverschuldung, wenn im Haushalt die Neuverschuldung reduziert wird.  

Inhaltsverzeichnis
Foto: Pixabay/Karolina Grabowska
Zugänge zu funktionalem Denken in der Grundschule Unterscheiden von Bestand und Änderung
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 4-5

Während die Betrachtung des Bestands für Schülerinnen und Schüler häufig naheliegend ist, brauchen sie geeignete Impulse, um den Blick auch auf die Änderung zu richten. In diesem Beitrag werden hierzu vier Möglichkeiten aufgezeigt: im Rahmen von Sachkontexten, über figurierte Zahlen, bei strukturierten Päckchen und im Kontext von Zahlenmauern.

Grundvorstellungen zu Bestand und Änderung aufbauen Auf & Ab in Säulendiagrammen
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 8-11

Die in der Presse häufig verwendeten Säulendiagramme eignen sich gut, um anknüpfend an Alltagserfahrungen ein tieferes konzeptuelles Verständnis von Beständen und Änderungen aufzubauen. Diskrete Daten ermöglichen eine leichtere Analyse. In zwei bis drei Unterrichtsstunden ermitteln die Schülerinnen und Schüler in verschiedenen Säulendiagrammen relative und absolute Änderung, Änderungsrate, größter Bestand und größte Änderung. 

Steigung und charakteristische Stellen verstehen Funktionen beschreiben Veränderungen
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 9-10

Die Idee in diesem ca. zweistündigen Unterricht ist ein ganz neuer Blick auf lineare Funktionen. Gegeben ist eine (zunächst rechteckige) Figur, die von links nach rechts überstrichen wird. Wie wächst dabei die überstrichene (in der Animation farbige) Fläche? Die Schülerinnen und Schüler beschreiben charakteristische Stellen für das Änderungsverhalten von Funktionen und arbeiten diese anhand weiterer Figuren heraus.

Foto: Pixabay/Karolina Grabowska
Der Stechheber-Versuch im Mathematikunterricht Ein Experiment zu Bestand und Änderung
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 8-9

Das Beobachten von Bestand und Änderung zum chemischen Gleichgewicht und Stoffkreisläufen ist eine spannende Thematik, die man auch im Mathematikunterricht konstruktiv in der Sek I und II nutzen kann. In diesem Artikel dient ein einfaches (Gedanken-)Experiment als Einstieg zur Modellierung einfacher Differenzengleichungen bzw. zur verständnisorientierten Begriffsentwicklung des Grenzwerts.

 

Mit Vollgas in die Differenzialrechnung
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-11

Die Frage „Fährt Frau Rasante zu schnell?“ führt die Schülerinnen und Schüler durch Analyse realer Messwerte schrittweise zum Aufbau von Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff. Ausgehend von der absoluten Änderungsrate erfahren die Lernenden den numerischen und den geometrischen Zugang zur momentanten Änderungsrate. Im Artikel und dem vielfältigen Online Material wird beschrieben, wie man selbst solche Messwerte erhält und auswertet.

Ein intuitiver Zugang zu Differenzialgleichungen als Schlüssel für e-Funktion und Integral Bestand, Änderung – und dann?
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 11-11

Welche Funktion ist gleich ihrer eigenen Ableitung? Diese handlungsorientierte Aufgabenstellung ist für Kurse auf grundlegendem und erhöhtem Niveau geeignet, um die Exponentialfunktion einzuführen. Aber nicht nur das: Gleichzeitig wird es möglich, Differenzialgleichungen und Integrale numerisch zu lösen. Dieser Zugang vernetzt damit wesentliche Themen der Analysis.

Grundvorstellungen vernetzt in fünf Bildern Mit Wasserhahn-Applets zur Integralrechnung
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 11-12

Ausgangspunkt der hier vorgestellten Unterrichtsreihe ist die Grundvorstellung des rekonstruierten Bestandes. Die Schülerinnen und Schüler sollten am Ende in der Lage sein, zwischen dieser und der geometrischen Grundvorstellung der Integralrechnung zu wechseln. Ein GeoGebra-Aplett ermöglicht einen flexiblen Übergang zwischen den vier Grundvorstellungen Änderungsrate, rekonstruierter Bestand, orientierter Flächeninhalt und Tangentensteigung. 

Foto: Pixabay/Karolina Grabowska
Ein inhaltlich-anschaulicher Zugang zum Integralbegriff und zum Hauptsatz Das Integral wirklich verstehen
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 11-13

Der Artikel bietet einen Unterrichtsvorschlag für die Einführung des Integralbegriffs über Rekonstruktionsprobleme (Höhe aus Geschwindigkeit, Volumen aus Flussraten), eine Integraldefinition über einen charakteristischen fünfschrittigen Prozess (Intervalleinteilung – Konstantsetzung – Produktbildung – Summierung – Verfeinerung) und einen schnellen, inhaltlich orientierten Weg zum Hauptsatz (beide Teile).

Zeit-los bedeutsam Änderungsraten und Bilanzen
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 10-13

Änderungsraten und Bilanzen erhöhen den Anwendungsbezug und die Aufgabenvielfalt in der Analysis. Allerdings ist die Deutung, insbesondere in zeitfreien Fällen, nicht trivial. Lernenden unterlaufen Fehlinterpretationen und Übergeneralisierungen (teils sogar von Schulbüchern inspiriert). Der Beitrag zeigt, wie dies aufgedeckt oder verhindert werden kann, um die Vielfalt der Anwendungen zu erschließen und tiefer über Änderungs- und Bilanzfragen nachzudenken.

Eine muntere Zahnpasta oder ein Gartenniederschlagversickerungsmuldenbrett Die etwas andere Aufgabe
Unterricht (< 45 Min) Schuljahr 5-13

Die etwas andere Aufgabe stellt kurze, besonders kognitiv anregende Aufgaben und mathematische Fundstücke aus der Zeitung vor. In dieser Ausgabe werden Funktionen diskutiert, Ableitungen gebildet, über Prozente und Winkel nachgedacht. Mit einem gefalteten Weihnachtsbaum und einer Jahreszahlen-Rechnerei wünschen wir unseren Leserinnen und Lesern schöne Ferien und alles Gute für das neue Jahr.

Modellieren mit dem KUMULATOR
Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-13

Vorgestellt wird eine einfache GeoGebra-Lernumgebung zur Modellierung von Wachstumsprozessen und dynamischen Systemen. Dabei geht es nicht darum, Differenzialgleichungen zu ermitteln. Vielmehr werden nach dem Prinzip „Von der Änderung zum Bestand“ schrittweise die jeweiligen Änderungen addiert und so der aktuelle Bestand aufgebaut. Der Beitrag bietet eine Übersicht zu den verschiedenen (schulrelevanten) Wachstumsprozessen. 

MatheWelt Ausg. 199/2016 Mathe Welt: Änderungsgraphen
Unterricht (> 90 Min) Schuljahr 10-11

In dieser Mathe-Welt geht es um den Aufbau einer intuitiven und tragfähigen Vorstellung von Bestandsgraphen und Änderungsgraphen in unterschiedlichen Kontexten. Im Zentrum steht (noch) nicht die exakte Bestimmung der Ableitungsfunktion oder die Ableitung an einer bestimmten Stelle einer Funktion, sondern das graphische Ableiten und der Einblick in grundlegende Zusammenhänge. GeoGebra-Animationen unterstützen den Lernprozess.