Anselm Lambert

Eine Gleichung – viele Bilder

Anselm Lambert

„a Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat. So ist der Satz des Pythagoras in unserem kollektiven Gedächtnis gespeichert, und vielleicht kommt dazu auch noch ein Bild in Erinnerung, eine Anwendungssituation wie die Berechnung der Länge einer Rechteckdiagonalen (Abb. 1 ) oder sogar Beweisskizzen.
a2 + b2 = c2 anders gesehen
Natürlich können die vorkommenden Variablen aber auch Koordinaten bzw. Konstanten beschreiben. In diesem Kontext ist x2 + y² = r² ein Kreis mit Radius r in der euklidischen Ebene (Abb. 2 ), dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist. Das Pythagoras-Rechteck vermittelt hier erfolgreich zwischen Kreis und Koordinaten.
Wir können diese Gleichung auch im dreidimensionalen euklidischen Koordinatensystem interpretieren: Wofür steht dann x2 + y2 = r2 im Raum? Wir sehen einen Zylinder. Warum? Die Gleichung ist unabhängig von z, das heißt, wir haben zu jeder Höhe z einen Kreis mit Radius r (Abb. 3 ). Ein interessanter und wichtiger, aber leider häufig vernachlässigter Fall funktionalen Zusammenhangs: Funktionale Unabhängigkeit.
Und wenn die dritte Variable r nun stattdessen unsere dritte Koordinate z ist? In der impliziten Koordinatengleichung x2 + y2 = z2 ist der Radius des Kreises auf der Höhe z nun von z linear abhängig. Wir erwarten, einen Doppelkegel zu sehen, da der Schnitt in jeder Höhe z ein Kreis mit Radius zist (Abb. 4 ). Da dies für alle z, positiv wie negativ, gilt, streckt sich der Doppelkegel in beide Richtungen aus unendlich.
Auf Entdeckungsreise
Mit einem Geometrie-System wie etwa Geogebra3D lassen sich solche Zusammenhänge effizient verbildlichen, systematisch erkunden und schließlich anschauungsgestützt mathematisch erklären. Wie wärs, unsere Schülerinnen und Schüler selbst die Pythagoras-Gleichung vielfältig variieren zu lassen initiiert und motiviert durch erste gemeinsame Beobachtungen und Erklärungen, wie im vorherigen Abschnitt? So können sie zu eigenen Entdeckungen aufbrechen und Forscherinnen und Forscher im Land der algebraischen Flächen im dreidimensionalen Raum werden. Nebenbei: In höherdimensionalen Räumen warten bis heute noch zahllose ungeklärte Fragen zu algebraischen „Flächen.
Einige der möglichen Variationen der Pythagoras-Gleichung wollen wir uns nun ansehen. Der Weg, den wir hier einschlagen, ist nur einer der vielen möglichen und lässt auch noch ein paar der weiteren Sehenswürdigkeiten der Variablenquadrateregion außen vor zum Selbstfinden!
Prinzipiell sollten im Verlauf von Forschungen begründete Vermutungen natürlich vor dem Experiment aufgestellt werden. Zu Beginn aber schauen wir uns zur Orientierung erst einmal einige Phänomene auf dem Bildschirm an.
Die Gleichung variieren
Was passiert, wenn wir zunächst die Rechenoperation verändern?
→ Wie sieht x2 y2 = z2 aus?
Erkläre deine Beobachtung.
Wir können erneut einen Doppelkegel sehen (Abb. 5 ). Der ist aber anders im Raum positioniert! Warum?
Nun, x2 y2 = z2 ist formal-algebraisch äquivalent zu x2 = y2 + z2. Das ist unsere Doppelkegelgleichung aber mit vertauschten Koordinaten! Entsprechend „vertauscht liegt nun unser Doppelkegel im Koordinatensystem: Statt der z-Achse ist nun die x-Achse dessen Symmetrieachse, wie wir leicht hineinsehen.
Um diesen Doppelkegel als solchen besser erkennen zu können, haben wir ihn auf dem Bildschirm bewegt. Dabei ist auch Folgendes zutage getreten: In der x-z-Ebene, also für y = 0, haben wir ein Geradenkreuz vorliegen, genauer das Geradenkreuz der Winkelhalbierenden der x-z-Ebene.
Wie können wir das aus der Gleichung heraus mathematisch erklären? Die Koordinaten des Punktes (x|z) erfüllen die implizite Koordinatengleichung x2 = z2 in der x-z-Ebene, wenn ihre Quadrate gleich sind. Und dies ist der Fall für z = x sowie für z = -x, also für die Punkte auf...
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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 216 / 2019

Pythagoras vielfältig erleben

Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 11-12