Anselm Lambert

Cayley bringt Struktur rein

Modulo rechnen, Symmetrie und Zahlen, Geschichte der Mathematik
Arthur Cayley untersucht Muster und Strukturen , Grafik: Friedrich Verlag

Anselm Lambert

Man kann es drehen und wenden, wenn man will

„Mathematik ist die Wissenschaft von den Mustern und Strukturen, sage ich im Lehrerzimmer. Die Fachkolleginnen und -kollegen nicken zustimmend.
Mit den Bildungsstandards für den Primarbereich ist der Mathematikunterricht in Deutschland zur Berücksichtigung der Leitidee „Muster und Strukturen institutionell verpflichtet. Irgendwie sollte das dann in der Praxis ja auch nachhaltig als wichtige Idee in die Sekundarstufe(n) fortgeschrieben werden auch wenn es die Bildungsstandards (immer noch) nicht explizit verlangen.
Muster und Strukturen
Aber was sind das nun eigentlich, diese „Muster und die noch allgemeineren „Strukturen dahinter? Und wie kann ich so abstrakte Strukturen überhaupt unterrichten? Nun, wie alle mathematischen Inhalte in der Schule: zum Einstieg nur konkret, das heißt geeignet exemplarisch auf ihren didaktischen Kern reduziert (Lambert/Herget 2017), und dann handlungs- und vorstellungsbasiert methodisch aufbereitet. Von den gewonnenen Einsichten und Erkenntnissen lässt sich dann bewusst abstrahieren. Zur Orientierung habe ich im Kopf: Strukturen sind gemeinsame Muster in zunächst vermeintlich unterschiedlichen Mustern wenn man nur noch die nackten, bedeutungsfreien Spielregeln betrachtet, untersucht und beschreibt (vgl. Kasten 1, Lambert 2020).
Die Zeit dreht sich
„8 plus 5 ist 1 lacht Hakan, und Sabine schaut verdutzt. „Ja. Natürlich., fährt er fort. „Wenn ich um 8 in die Schule gehe und 5 Stunden dort bleibe, dann ist 1 Uhr. „Hä? „Kuckst du! Am besten siehst du das auf so einer Uhr mit Zeigern: Der kleine Zeiger dreht sich dabei 5 Stunden weiter, von 8 bis 1. „Echt nice, freut sich Sabine: „8 plus 5 ist 1. Und 11 plus 2 ist 1 Mitternachtsparty!
Vierecke auch
„Eigentlich ist unser Thema gerade Symmetrie im Haus der Vierecke, denke ich, und dann: „Da geht es doch auch (implizit) um exakt solche Muster und eben um die jeweils hinter den dortigen Symmetrien unter anderem Drehungen stehende, noch abstraktere mathematische Struktur: Gruppe. Diese vereint Uhrzeit und Drehungen. Und das passt ja dann auch für die Spiegelungen, die wir gerade betrachten. Ich nehme mir vor, für die nächste Stunde dazu ein Arbeitsblatt zu entwickeln.
„Fragen zu stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind ist laut Bildungsstandards konstitutiv für mathematisches Argumentieren, und die zentrale Frage der modernen Mathematik ist die nach der Struktur. Hier habe ich nun eine Gelegenheit, auch diese im Unterricht genetisch zu entwickeln und erste Antworten aufzuzeigen.
Drehungen = Reste
Hinter unserer Uhrzeit steckt eine Addition „modulo 12 für die Stundenangabe (verbunden mit einer modulo 60 für die Minuten sowie für die Sekunden). Die Diskussion von Hakan und Sabine (Arbeitsblatt 1 ) stellt uns einen Prototyp für die Untersuchung von Resten bei der Addition bereit: Bei einer Verknüpfung zweier natürlicher Zahlen muss das Ergebnis nicht notwendig der Wert der vertrauten, „normalen Summe sein! Ein großer Vorteil ist in diesem Kontext: Den Lernenden treten neue Rechenregeln für die vertrauten Zahlzeichen ungekünstelt gegenüber und werden nachvollziehbar. So habe ich den Vergleich der Addition modulo 4 (Arbeitsblatt 2 ) mit den Deckdrehungen eines Quadrates (Arbeitsblatt 3 ) vorbereitet. Systematisches Probieren hilft wesentlich bei der Bearbeitung der Aufgaben. Eine Alternative: Am Haus der Vierecke ankernd mit den ersten beiden Teilaufgaben des dritten Arbeitsblatts beginnen
Erste Entdeckung
In den Verknüpfungstafeln lassen sich die Viererresterechnung und die Quadratdrehungen nicht mehr unterscheiden! Allerdings ist dazu eine kleine Hürde zu nehmen. Als Drehungen des Quadrates geben die Schülerinnen und Schüler meist 90°, 180°, 270° und 360° an dann ist es wieder in seiner Ausgangslage. Da diese Notation aber später die Identifikation der Tafeln erschwert, gebe ich einen...

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Fakten zum Artikel
aus: Mathematik lehren Nr. 222 / 2020

Gesichter der Mathematik

Friedrich+ Kennzeichnung Unterricht (45-90 Min) Schuljahr 7-8