Ausgleichskurven von exponentiellem Wachstum mit Excel untersuchen

Der Anstieg der Coronavirus-Fälle als Unterrichtsthema

In den Medien wird derzeit viel über Fallzahlen von Covid-19-Erkrankungen und deren Ausbreitung berichtet. Auch das Schlagwort „exponentielles Wachstum“ geistert durch Berichte und Artikel. Ein guter Anlass, dieses Thema aufzugreifen, das sich z. B. in den Lehrplänen beim radioaktiven Zerfall und bei Zellkulturen findet. Zudem gehört die Beschäftigung mit Ausgleichskurven – ob per Hand oder berechnet – zu einem guten Umgang mit experimentellen Daten.

Der Anstieg der Coronavirus-Fälle als Unterrichtsthema
Foto: Omni Matryx/Pixabay.com – Creative Commons CC0

Vorgestellt wird hier kein fertiges Unterrichtskonzept – besonders wenn Sie nun Ihre Schülerinnen und Schüler aus der Ferne betreuen, müssen sie die Fähigkeiten und Interessen der Lernenden beachten. Stattdessen soll einerseits angeregt werden, sich mit den Daten und deren Darstellung auseinanderzusetzen (aufbauend auf dem Newsletter „Mathematik“ des Friedrich Verlages vom 26.03.2020). Andererseits möchte ich einen Vorschlag machen, wie die Schülerinnen und Schüler einen kleinen Aspekt der Dynamik bei der Ausbreitung der Pandemie selber nachvollziehen können. Selbstverständlich geht es hierbei um keine wissenschaftliche Simulation zur Entwicklung der Fallzahlen – auch wenn das mathematische Modell anspruchsvolle Lernende herausfordern kann. Der Fokus liegt hier klar auf dem Umgang mit den Daten und der Arbeit mit Ausgleichskurven.

Coronavirus: Einstieg in die mathematischen Zusammenhänge

Zum Einstieg bietet sich ein 4-minütiges Video über das Coronavirus und die mathematischen Zusammenhänge an. In diesem Video wird u. a. auch auf die Grundlagen des exponentiellen Wachstums im Vergleich zu linearem Wachstum eingegangen.

Etwas ausführlicher (22 Minuten) beschäftigt sich Prof. Edmund Weitz (HAW Hamburg) mit dem Virus und den mathematischen Hintergründen:

Die Artikel „Die Wucht der großen Zahl“ und „Coronavirus: Warum du jetzt handeln musst!" (Übersetzung des medium-Artikels von Tomas Pueyo) geben anschließend einen vertieften Einblick in die Zahlenwelt rund um Corona und legen bereits einen Fokus auf die grafische Darstellung von Daten in Diagrammen.

Anstieg der Fallzahlen von Covid-19-Erkrankungen
Anstieg der Fallzahlen von Covid-19-Erkrankungen Grafik aus Excel – erstellt von Jasper Cirkel

Auswertung der aktuellen Fallzahlen

Im Zentrum unseres Vorschlages steht eine Tabellenkalkulation, mit der die Daten der täglichen Fallzahlen pro Land ausgewertet werden können (Quelle: z. B. CSSEGISandData). Genutzt wird hier bewusst eine per Browser erreichbare Tabellenkalkulation, um technische Hürden zu reduzieren.

Alternativ können die Ausgleichsberechnungen auch mit CAS-Taschenrechnern oder bei Online-Portalen durchgeführt werden. Vorteil: Die Ergebnisse können bei dieser Variante direkt als mathematischer Ausdruck dargestellt werden.

Kommen wir nun aber zur oben verlinkten Tabellenkalkulation. Die Original-Fallzahlen liegen pro Land und Tag vor. Für Unterrichtszwecke ist es jedoch sinnvoller, die Tage seit dem Überschreiten z. B. der Schwelle von 100 Fällen zu betrachten. Dabei ist diese Schwelle eher willkürlich gezogen. Mittlerweile könnte man ebenso gut den Wert 1000 nehmen. Die Zahl von 100 erlaubt es jedoch, kleinere Länder mit einzuschließen. Außerdem ist es schlüssig, beispielsweise nur die letzten 7 Tage einzuschließen (s. Kasten „Daten“ in der oben verlinkten Tabellenkalkulation).

Um sich einen Überblick zu verschaffen, schaut man zunächst auf die Entwicklung der Fallzahlen in den Grafiken. Die durch die Ausgleichsrechnung („Fits“) erhaltenen Werte für Wachstumsfaktoren, Startwert N_0, und Verdopplungszeit T_2 befinden sich im Kasten „Fitparameter“ in der Tabellenkalkulation. Hier sind beispielhaft einige europäische Länder aufgeführt. Man kann auch weitere Länder hinzufügen oder die Komplexität reduzieren und beispielsweise nur Deutschland und Italien anbieten.

Die Funktion für die Ausgleichsrechnung in der Tabellenkalkulation heißt „RKP()“ (bei Excel und LibreOffice heißt sie „logest()“ – man schaut am besten jeweils in die Hilfe der Programme).

Sechs mögliche Aufgabenstellungen

Anhand der Daten und Grafiken in der oben verlinkten Tabellenkalkulation können nun im Weiteren verschiedene Aufgabenstellungen bearbeitet werden, wie zum Beispiel:

  1. Lasst die Ausgleichskurve für Deutschland über verschiedene Zeitintervalle von einer Woche berechnen und beschreibt die Veränderung der Wachstumsfaktoren q und der Verdopplungszeit T_2. Das macht man, indem man den ausgewählten Bereich der Funktion =RKP(erste Zelle:letzte Zelle) verändert.
     
  2. Experimentiert mit der Anzahl der Tage, die in die Ausgleichskurve für Deutschland eingehen, damit die Daten die Entwicklung der Tage vom 15.3. bis zum 20.3. (Tage 15 – 20) am besten „vorhersagen“.
     
  3. Begründet, ob und ggf. ab wann man in Deutschland von einer ersten Erholung der Lage sprechen kann.
     
  4. Beschreibt für Italien und Deutschland, in welchem Zeitabschnitt von einem exponentiellen Wachstum gesprochen werden kann. Wie kann man das grafisch ablesen?
     
  5. Vergleicht die Entwicklung von weiteren Ländern: Ist die Darstellung mit Gesamtanzahlen „fair“? Wie könnte man die Daten „gerechter“ darstellen? (Z. B. Normierung auf Einwohnerzahlen oder auf Einwohner pro Fläche.)
     
  6. Diskutiert, ob die Anzahlen der Todesfälle die besseren Daten für eine Beurteilung der Entwicklung sind. Welche Vor- und Nachteile haben die beiden Datensorten „Gesamtzahlen“ und „Todesfälle“?

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