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Maximal, minimal, optimal

mathematik lehren Nr. 159/2010

Bestellnummer: 58159
Medienart: Zeitschrift
Erscheinungsdatum: April 2010
Schulfach / Lernbereich: Mathematik
Seitenzahl: 69
Preis: 17,90 € *
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Rekorde und Extreme aller Art faszinieren: der höchste Berg, die tiefste Temperatur, der älteste Baum, der kleinste Mensch, der schnellste Computer, die kleinstmögliche Änderung, die größte Primzahl...
Das Optimieren ist aber auch eine fundamentale Idee der Mathematik, eine ihrer Triebkräfte. 

Dies zeigt sich in vielen ihrer Begriffe (kleinster gemeinsamer Teiler, beste Approximation, …). Ganze Forschungszweige widmen sich Spielarten des Optimierens: Lineares Programmieren, Konvexe Optimierung, Variationsrechnung, Dynamische Optimierung. Selbst die Entstehung der Analysis geht nicht zuletzt auf Extremalprobleme zurück.
Diese Ausgabe von mathematik lehren zeigt, wie die inspirierende Kraft des Optimierens in vielfacher, oftmals überraschender Weise im Unterricht erfahrbar gemacht und der analytische Lösungskalkül als Fortschritt von den Schülerinnen und Schülern erlebt werden kann.

Aus dem Inhalt:

  • Aufgaben mit Ziffernkarten:
    Rechnungen mit größtem und kleinstem Ergebnissen legen
  • "Ich suche das Paket, in das am meisten geht"
    Ein Extremwertproblem aus dem Alltag
  • Extremwertaufgaben mit Differenzialrechnung

Bitte beachten Sie auch die Downloads zu diesem Heft:

  • In der zip-Datei "500-08159_Ziffernkarten" finden Sie eine Kopiervorlage für Ziffernkarten sowie die Lösungen zu Arbeitsblatt 1 – 3 zum Beitrag "Aufgaben mit Ziffernkarten" von Maria Koth.
  • In der Datei "500-08159_Rekorde_im_Tierreich" finden Sie drei Arbeitsblätter zum Beitrag "Rekorde im Tierreich" von Helge Woschitz. 
  • In der zip-Datei "500-08159_Daten" finden Sie je ein dynamisches Tabellenblatt (Excel und OpenOffice) ergänzend zum Arbeitsblatt 2 im Beitrag "Optimieren – Leitidee für den Umgang mit Daten" von Dankwart Vogel.
  • In der Datei "500-08159_Humenberger" finden Sie Ergänzungen zum Beitrag "Das Quadrat als optimales Rechteck" von Hans Humenberger.
  • Die Datei "500-08159_Legespiele_mit_Quadraten" enthält 21 Polyominos (Figuren aus einem bis fünf Quadraten) zum Folieren und Ausschneiden und einen Spielplan, ergänzend zur Mathe-Welt.

Autor: Vogel, Dankwart
Titel: Maximal, minimal, optimal...
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 4–13

Abstract: Optimieren ist eine fundamentale Idee der Mathematik, deren Vielfalt an Problemstellungen, heuristischen Strategien und mathematischen Methoden den Unterricht über alle Klassenstufen hinweg bereichern und beleben kann. Der Beitrag gibt einen Überblick über Optimierungen im Alltag, in der Natur, in Wirtschaft und Technik sowie in der Mathematik und zeigt, wie Extremwertaufgaben mit elementaren (d.h. nichtanalytischen) Lösungsmethoden schon in der Sekundarstufe I einsetzbar sind. Dabei stehen weniger algorithmische Fertigkeiten als Modellieren, Problemlösen und funktionales Denken im Mittelpunkt.

Schlagwörter: Optimierung, Strategie, Idee, Unterrichtsanalyse, Funktionales Denken, Problemlösen, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Modellbildung, Aufsatz, Extremwert , Mathematikunterricht, Heuristik


Autor: Koth, Maria
Titel: Aufgaben mit Ziffernkarten. Rechnungen mit größten und kleinsten Ergebnissen legen.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 14–17

Abstract: Vorgestellt und kommentiert werden Arbeitsblätter mit Aufgaben zu den vier Grundrechenarten im Bereich der natürlichen Zahlen, wobei nach möglichst großen oder kleinen Ergebnissen gesucht wird. Die Schülerinnen und Schüler ermitteln die optimalen Resultate durch systematisches Probieren: Das spielerische Legen der Aufgaben mit Ziffernkarten lädt zum Experimentieren ein und fördert den flexiblen Umgang mit Zahlen sowie das Verständnis für den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems.

Schlagwörter: Hilfsmittel, Regel, Ratgeber, Darstellungsform, Optimierung, Wert, Legespiel, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Primarbereich, Schüleraktivität, Lehren, Lernspiel, Arbeitsbogen, Unterrichtsmedien, Natürliche Zahl, Experimentelle Mathematik, Mathematikunterricht, Zahl


Autor: Woschitz, Helge
Titel: Rekorde im Tierreich. Maximale Geschwindigkeit, minimale Größe.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 18–20

Abstract: Maximale oder minimale Größen motivieren zu einer Auseinandersetzung mit realen Daten. Der Beitrag nutzt das Interesse an Tieren für ansprechende Aufgaben, die sich mit Superlativen im Tierreich beschäftigen (Stärke von Ameisen, Sprungkraft von Flöhen etc.). Anhand dieses vielfältigen Feldes können zentrale Themen der Klassenstufen 5 und 6 wie Rechnen mit Dezimalzahlen, Umgang mit Maßeinheiten sowie Vergleichen und Darstellen von Größen behandelt, wiederholt und vertieft werden. Kommentierte, im Schwierigkeitsgrad zunehmende Arbeitsblätter sind enthalten oder als Downloads verfügbar.

Schlagwörter: Ratgeber, Grafische Darstellung, Quantität, Schätzung, 6. Schuljahr, 5. Schuljahr, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Lehren, Arbeitsbogen, Unterrichtsmedien, Mathematikunterricht, Geschwindigkeit, Länge, Gewicht


Autor: Förster, Frank; Henn, Hans-Wolfgang
Titel: Ich suche das Plakat, in das am meisten geht. Ein Extremwertproblem aus dem Alltag.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 21–26

Abstract: Tarifstrukturen von Paketdiensten lassen nach optimaler Verpackung und Versandart fragen und bieten Material für reichhaltige Lernumgebungen und Mathematisierungen. Der Beitrag gibt Aufgabenanregungen für die Mittel- und Oberstufe und stellt unterschiedliche Zugänge und Lösungswege vor.

Schlagwörter: Ratgeber, Problemstellung, Optimierung, Strategie, Erfahrungsbericht, Alltag, Problemlösen, Sekundarstufe II, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Oberstufe, Modellbildung, Lehren, Arbeitsbogen, Geometrie, Differenzialrechnung, Extremwert , Mathematik


Titel: MatheWelt. Legespiele mit Quadraten.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 26–42

Abstract: Aus einem bis fünf Quadraten lassen sich 21 Polyominos zusammensetzen. Diese Quadratmehrlinge dienen in dem Schülerarbeitsheft für die 5. und 6. Jahrgangsstufe als Legesteine, um Figuren mit möglichst großem/kleinen Umfang oder Flächeninhalt zu finden. Die Aufgaben zu den Polyminos regen zur Suche nach optimalen Lösungen an und fördern systematisches und selbstständiges Arbeiten.

Schlagwörter: Hilfsmittel, Optimierung, Legespiel, 6. Schuljahr, 5. Schuljahr, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Schüleraktivität, Übungsbuch, Arbeitsbuch, Elementare Geometrie, Fläche, Quadrat, Perimeter, Geometrische Konstruktion


Autor: Humenberger, Hans
Titel: Das Quadrat als optimales Rechteck. Optimieren als fundamentale Idee erfahren.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 44–50

Abstract: Extremwertaufgaben lassen sich bereits vor der Differenzialrechnung in der Mittelstufe behandeln. Der Beitrag stellt eine elementargeometrische Optimierungsmethode vor, die sich, wie an zahlreichen Beispielen gezeigt wird, wegen ihrer Einfachheit und Universalität wie ein roter Faden durch das Curriculum der Sekundarstufe I ziehen könnte. Die Idee des Optimierens kann so öfter aufgegriffen und als Leitlinie im Mathematikunterricht realisiert werden.

Schlagwörter: Problemstellung, Ziel, Optimierung, Idee, Unterrichtsanalyse, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Unterrichtsplanung, Elementare Geometrie, Fläche, Quadrat, Perimeter, Mathematikunterricht


Autor: Vogel, Dankwart
Titel: Optimieren – Leitidee für den Umgang mit Daten.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 51–55

Abstract: Vorgestellt wird eine Unterrichtsreihe, in der optimale Instrumente statistischer Beschreibung entwickelt und angewandt werden. An fiktiven Daten erarbeiten und erkunden die Schülerinnen und Schüler zwei Gütemaße für die Mitte eines Datensatzes (arithmetisches Mittel und Meridian) und werten eine Messreihe statistisch aus (Anpassen einer Ursprungsgeraden). Dabei lernen sie, Messfehler graphisch auszugleichen und mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die Modellfunktion numerisch anzupassen. Die Arbeit erfolgt weitgehend selbstständig in kleinen Teams, deren Ergebnisse am Ende auf Genauigkeit verglichen werden.

Schlagwörter: Bedeutung, Ratgeber, Optimierung, Unterrichtsanalyse, Schuljahr 09, Schuljahr 10, Schuljahr 11, Schüleraktivität, Lehren, Gruppenarbeit, Unterrichtseinheit, Arbeitsbogen, Datenanalyse, Visualisieren, Mathematikunterricht, Beschreibende Statistik


Autor: Malle, Günther
Titel: Extremwertaufgaben mit Differenzialrechnung.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 56–59

Abstract: Aufgezeigt werden einige Schwierigkeiten, die in der Oberstufe bei der Behandlung von Extremwertaufgaben auftreten können, und Wege, diese im Unterricht zu vermeiden. Insbesondere geht es um Problemverständnis, Ansatz in Funktionenschreibweise, Graph und Definitionsbereich, sowie Argumentation und Rechnung. Ferner wird die Frage untersucht, in welchen Fällen das Lösen von Extremwertaufgaben mit Differenzialrechnung sinnvoll ist.

Schlagwörter: Ratgeber, Verständnis, Unterrichtsanalyse, Verstehen, Sekundarstufe II, Oberstufe, Lernproblem, Lehren, Differenzialrechnung, Extremwert , Mathematikunterricht


Autor: van Maanen, Jan
Titel: Wo ist das Gewicht in Ruhe? Ein historisches Beispiel zum Wert des analytischen Kalküls.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 60–62

Abstract: Ein Gewicht-Problem diente dem Autor als Vorlage für eine Aufgabe zur Probe der mündlichen Prüfung in einem Abschlusskurs. Die Aufgabe wurde von LHospital genutzt, um den Wert des (gerade aufkommenden) analytischen Kalküls zu belegen. Der Lösungsversuch eines Schülers mit physikalischem Ansatz scheiterte an der Komplexität. Erst der Hinweis auf Deutung der Aufgabe als Minimumproblem, das mithilfe der Differenzialrechnung relativ einfach lösbar ist, führte zu einem Ergebnis. Die historische Entwicklung der Differenzialrechnung wurde so für die Schülerinnen und Schüler ein Stück weit erlebbar.

Schlagwörter: Präsentation, Erfahrungsbericht, Sekundarstufe II, Oberstufe, Schüler, Abschlussprüfung, Entdeckendes Lernen, Geschichte , Differenzialrechnung, Mathematik


Autor: Segelken, Sabine
Titel: Ideenkiste. Mathematik am eigenen Körper erfahren.
Quelle: In: Mathematik lehren,(2010) 159, S. 68–69

Abstract: Wenn es im Mathematikunterricht um Erfahrungen im Raum, um Bewegungen und Veränderungen geht, können Schülerinnen und Schüler zur Auflockerung gut ihren Körper einsetzen. Der Beitrag stellt fünf Übungen vor, die zur Vertiefung nach Erarbeitung der Begriffe Winkel, Achsensymmetrie, Funktionsgraph, trigonometrische Funktionen und Wendepunkt eingesetzt oder als Einstieg in das jeweilige Thema genutzt werden können.

Schlagwörter: Sekundarstufe II, Mittelstufe, Sekundarstufe I, Oberstufe, Schüleraktivität, Entdeckendes Lernen, Symmetrie, Winkel, Funktionsgraf, Trigonometrie, Raumgeometrie, Mathematikunterricht


Archiv

Bisher erschienene Ausgaben:

203/2017 - Explorieren
202/2017 - Algebra – Strukturen erkennen und nutzen
201/2017 - Inklusion
200/2017 - Mathematik auf den Punkt bringen: Reduktion
199/2016 - Bestand und Änderung
198/2016 - Langfristiger Kompetenzaufbau (vergriffen)
197/2016 - Statistische Grundbildung
196/2016 - Problemlösen lernen in der Geometrie
195/2016 - Interesse wecken, Talente fördern
194/2016 - Nutzt Mathematik!?!
193/2015 - Mathematik- Schönheit erleben
192/2015 - Übergänge gestalten
191/2015 - Fehler – Hindernis und Chance
190/2015 - Mathe 3D – Raumgeometrie unterrichten
189/2015 - Digitale Medien nutzen
188/2015 - Algorithmen
187/2014 - Funktionen analysieren
187/2014 - Funktionen analysieren (vergriffen)
186/2014 - Mit Mathe spielen(d) lernen (vergriffen)
186/2014 - Mit Mathe spielen(d) lernen
185/2014 - Der rechte Winkel
184/2014 - Forschendes Lernen
183/2014 - Zugänge zu negativen Zahlen
182/2014 - Das Spiralprinzip
181/2013 - Überraschungen
180/2013 - Die faszinierende Welt der Grenzwerte (vergriffen)
179/2013 - Verhältnisse (vergriffen)
178/2013 - Unterrichten mit dem interaktiven Whiteboard
177/2013 - Mathe im Fächerverbund (vergriffen)
176/2013 - Mathe real – mit Material
175/2012 - Gesundheit und Mathematik
174/2012 - Simulieren: Mit Modellen experimentieren
173/2012 - Vernetzungsideen
172/2012 - Begriffe bilden
171/2012 - Zahlbeziehungen erkennen und nutzen
170/2012 - Beurteilen und Bewerten
169/2011 - Gleichungen verstehen (vergriffen)
168/2011 - Argumentieren (vergriffen)
167/2011 - Kopfmathematik (vergriffen)
166/2011 - Förderkonzepte
165/2011 - Kreis & Kugel
164/2011 - Systematisieren & Sichern
163/2010 - Sternstunden
162/2010 - Differenzieren (vergriffen)
162/2010 - Differenzieren
161/2010 - Symmetrie (vergriffen)
160/2010 - Außerschulische Lernorte (vergriffen)
159/2010 - Maximal, minimal, optimal
158/2010 - Unterricht planen
157/2009 - Kunst Kreative Zugänge zur Mathematik (vergriffen)
156/2009 - Mathematische Sprache entwickeln
155/2009 - Wege zum Beweisen
154/2009 - Wissen vernetzen – Geometrie und Algebra
153/2009 - Bewerten und Entscheiden
152/2009 - Unterricht gemeinsam entwickeln
151/2008 - Geschichte der Mathematik
150/2008 - Diagnose: Schlüssel zum individuellen Fördern
150/2008 - Diagnose: Schlüssel zum individuellen Fördern (vergriffen)
149/2008 - Projekte
148/2008 - Funktionale Zusammenhänge
147/2008 - Üben mit Konzept
146/2008 - Medien vernetzen
145/2007 - Der mathematische Blick
144/2007 - Geometrie erkunden
144/2007 - Geometrie erkunden (vergriffen)
143/2007 - Präsentieren
142/2007 - Auf dem Weg zu neuen Zahlen (vergriffen)
141/2007 - Experimentieren
140/2007 - Hausaufgaben
139/2006 - Kooperatives Lernen
139/2006 - Kooperatives Lernen (vergriffen)
138/2006 - Daten und Zufall (vergriffen)
138/2006 - Daten und Zufall
137/2006 - Mit Tabellen kalkulieren
136/2006 - Terme (vergriffen)
135/2006 - Freude wecken – Ängste nehmen
134/2006 - Rund ums Geld
133/2005 - Koordinaten und Vektoren (vergriffen)
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132/2005 - Bewusster Lernen (vergriffen)
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131/2005 - Individuelles Fördern (vergriffen)
131/2005 - Individuelles Fördern
130/2005 - Kurven (vergriffen)
130/2005 - Kurven
129/2005 - Diskrete Mathematik
128/2005 - PISA – neue Ergebnisse und Anregungen
127/2004 - Mathematik aus Schülersicht (vergriffen)
126/2004 - Reichhaltige Lernsituationen (vergriffen)
125/2004 - Fehler als Orientierungsmittel (vergriffen)
124/2004 - Geometrie: Die Erde vermessen (vergriffen)
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123/2004 - Brüche und Verhältnisse (vergriffen)
122/2004 - Lernwerkstatt Mathematik
121/2003 - Merkwürdige Zahlen (vergriffen)
120/2003 - Zukunft berechnen... Zukunft gestalten
119/2003 - Zentrale Ideen
118/2003 - Grundvorstellungen entwickeln
118/2003 - Grundvorstellungen entwickeln (vergriffen)
117/2003 - Darstellen und Interpretieren
116/2003 - Interkulturelles Lernen (vergriffen)
115/2002 - Heuristik – Problemlösen lernen (vergriffen)
114/2002 - Prozente und Proportionalität (vergriffen)
113/2002 - Modellieren (vergriffen)
112/2002 - Unendlich (vergriffen)
111/2002 - Mathematik und Natur (vergriffen)
110/2002 - Begründen (vergriffen)
109/2001 - Einstiege (vergriffen)
108/2001 - Antworten auf TIMSS
107/2001 - Leistungen bewerten (vergriffen)
106/2001 - Kreativität
105/2001 - Mathematik entdecken
104/2001 - Anders unterricht – aber wie? (vergriffen)
103/2000 - Funktionen untersuchen (vergriffen)
102/2000 - Computeralgebrasysteme
101/2000 - Ganzheitlich unterrichten (vergriffen)
100/2000 - Aufgaben öffnen (vergriffen)
99/2000 - Mathematik und Sprache
98/2000 - Mathematik zum Anfassen (vergriffen)
97/1999 - Daten und Modelle (vergriffen)
96/1999 - Folgen (vergriffen)
95/1999 - Sport – Beispiele projektartigen Unterrichts (vergriffen)
94/1999 - Übergänge – Wechsel in eine neue Schulstufe (vergriffen)
93/1999 - Ganz genau und ungefähr (vergriffen)
92/1999 - Internet und Multimedia (vergriffen)
91/1999 - Mathematik historisch verstehen (vergriffen)
90/1998 - TIMSS – Anstöße für den Matheu (vergriffen)
89/1998 - Innere Differenzierung (vergriffen)
88/1998 - Wahlen
87/1998 - Zahlen (vergriffen)
86/1998 - Erlebnisweisen von Mathematik (vergriffen)
85/1997 - Stochastisches Denken (vergriffen)
84/1997 - Anregung aus England (vergriffen)
83/1997 - Zum genetischen Unterricht (vergriffen)
82/1997 - Computer im Geometrieunterrich (vergriffen)
81/1997 - Optimieren (vergriffen)
80/1997 - Architektur (vergriffen)
79/1997 - Wege zur freien Arbeit (vergriffen)
78/1996 - Grundvorstellungen (vergriffen)
77/1996 - Neue Impulse für die Raumgeometrie (vergriffen)
76/1996 - Umwelt (vergriffen)
75/1996 - Funktionen (vergriffen)
74/1996 - Mathematik aus der Zeitung (vergriffen)
73/1995 - Bruchrechnung verstehen (vergriffen)
72/1995 - Praktisches Lernen (vergriffen)
71/1995 - Mädchen und Jungen im Mathematikunterricht (vergriffen)
70/1995 - Vom Leben und Sterben (vergriffen)
69/1995 - Mathematik und Verkehr (vergriffen)
68/1995 - Textaufgaben-Aufgabentexte (vergriffen)
67/1994 - Raumgeometrie – mit und ohne Computer (vergriffen)
66/1994 - ...noch mehr Spiele (vergriffen)
65/1994 - Aus- und Fortbildung (vergriffen)
64/1994 - Lebendiger Mathematikunterrich (vergriffen)
63/1994 - Optimale Entscheidungen (vergriffen)
62/1994 - Freie Themen (vergriffen)
61/1993 - Primzahlen II (vergriffen)
60/1993 - Üben im Mathematikunterricht (vergriffen)
59/1993 - Der Taschenrechner im Mathematikunterricht (vergriffen)
58/1993 - Vernetzung (vergriffen)
57/1993 - Primzahlen I (vergriffen)
56/1993 - Freie Themen (vergriffen)
55/1992 - Der Goldene Schnitt (vergriffen)
54/1992 - Optimale Entscheidungen (vergriffen)
53/1992 - Beiträge zum Geometrieunterricht (vergriffen)
52/1992 - Problemlösen lernen (vergriffen)
51/1992 - Gleichungen (vergriffen)
50/1992 - Freie Themen (vergriffen)
49/1991 - Die Individualität des Schüler (vergriffen)
48/1991 - Klassenarbeiten/Beurteilen/Leistungsbewertung (vergriffen)
47/1991 - Historische Quellen für den Mathematikunterricht (vergriffen)
46/1991 - Geometrie – (k)ein Sorgenkind (vergriffen)
45/1991 - Umgang mit Größen (vergriffen)
44/1991 - Freie Themen (vergriffen)
43/1990 - Spiele im Mathematikunterricht (vergriffen)
42/1990 - Geometrie – (k)ein Sorgenkind (vergriffen)
41/1990 - Preiswert, qualitäts- und umwe (vergriffen)
40/1990 - 'Zauberhafte' Mathematik mit natürlichen Zahlen (vergriffen)
39/1990 - Näherungsrechnen (vergriffen)
38/1990 - Freie Themen (vergriffen)
37/1989 - Parabeln (vergriffen)
36/1989 - Geometrie (vergriffen)
35/1989 - 'Minuszahlen' (vergriffen)
34/1989 - Software II (vergriffen)
33/1989 - Allgemeinbildender Mathematikunterricht (vergriffen)
32/1989 - Abstände (vergriffen)
31/1988 - Von Null bis unendlich (vergriffen)
30/1988 - Eisenbahn (vergriffen)
29/1988 - Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht (vergriffen)
28/1988 - Entdecken (vergriffen)
27/1988 - Freie Themen (vergriffen)
26/1988 - Mathematik im Alltag (vergriffen)
25/1987 - Handlungsorientierung (vergriffen)
24/1987 - Software (vergriffen)
23/1987 - Mathematik und Kunst (vergriffen)
22/1987 - Mit Geld rechnen (vergriffen)
21/1987 - Blick über den Zaun – Großbritannien (vergriffen)
20/1987 - Unser Geld (vergriffen)
19/1986 - Geschichte – Geschichten (vergriffen)
18/1986 - Rechner III (vergriffen)
17/1986 - Zeichnen II (vergriffen)
16/1986 - Brüche (vergriffen)
15/1986 - Buchstaben-Rechnen (vergriffen)
14/1986 - Zeichnen I (vergriffen)
13/1985 - Rechner II (vergriffen)
12/1985 - Galton-Brett (vergriffen)
11/1985 - Das Operative Prinzip (vergriffen)
10/1985 - Vertretungsstunde (vergriffen)
9/1985 - Mathematik und Deutsch (vergriffen)
8/1985 - Mittelwerte (vergriffen)
7/1984 - Rechner I (vergriffen)
6/1984 - Fliegen (vergriffen)
5/1984 - Fehler (vergriffen)
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3/1984 - Spiegel (vergriffen)
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